Prouver la convergence dans la distribution en utilisant le théorème de continuité de Levy

Aug 16 2020

J'essaie de résoudre la question suivante - les parties (a) et (b) semblent avoir une structure très similaire mais je ne peux pas résoudre la partie (b):


Ma tentative :

Pour la partie (a), nous appliquons le théorème de continuité de Levy. Réparer$u \in \mathbb{R}$et notez$$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$

par l'indépendance de$N_t$et le$X_M(k)$et en appliquant la convergence dominée pour échanger la somme et l'espérance pour la deuxième égalité et par la propriété iid du$X_M(k)$pour le troisième. Nous ne traiterons que de l'exposant pour l'instant, et pour la sténographie nous définissons$Z \equiv X_M(1)$:

$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$où nous appliquons à nouveau DCT et notons que par la symétrie de la distribution pour$Z$que son espérance est 0.

$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$

$c = \frac{i u}{\sigma_M}$. Pour chaque$t \ge 1$et la somme ci-dessus a un module borné (par$\exp(|c|M)$par exemple), justifiant ainsi la convergence de la fonction caractéristique vers celle d'un$N(0,1)$et nous pouvons conclure la partie (a).


Pour la partie (b), j'ai essayé de faire la même chose, ce qui nécessitera évidemment le calcul de$\sigma_M$puisque nous ne l'avons pas utilisé dans la partie (a). Il est trivialement montré que (pour la brièveté mis$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$)$$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$

Je crois que la convergence après la ligne (L) peut tenir si et seulement si$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$J'ai essayé de réécrire le module de la somme pour inclure toutes les informations sur$\sigma_{M(t)}$, c'est-à-dire comme étant égal à$$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$Je n'ai aucune idée de comment tirer cette conclusion à partir d'ici. S'il vous plaît, aidez-moi si vous le pouvez - j'ai perdu un temps fou là-dessus.

Réponses

1 SangchulLee Aug 16 2020 at 11:43

En notant qu'il existe une constante$C > 0$Pour qui

$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$

tient pour tous$x \in \mathbb{R}$, Nous avons

\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}

Maintenant en notant que

$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$

nous pouvons encore borner la différence comme

$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$

pour une constante absolue$C_2 > 0$. Puisque cette borne converge vers$0$comme$t \to \infty$par l'hypothèse sur$M$, la conclusion souhaitée s'ensuit.


Addenda.

  1. je crois que$\pi$au dénominateur de$\text{(5)}$est une faute de frappe. La bonne formule serait$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$

  2. Validité de$\text{(*)}$dépend essentiellement de la restriction$x \in \mathbb{R}$, et donc, il ne peut pas être directement obtenu à partir du développement en série entière. Cependant, cela peut être prouvé en utilisant une formule explicite pour le terme de reste dans l'approximation de Taylor. Par exemple, nous pouvons utiliser$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$prouvant ainsi$\text{(*)}$avec$C = \frac{1}{6}$.