Prouver $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[dupliquer]

Question

j'ai besoin de prouver$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$mais je suis à bout de nerfs. J'ai parcouru le Web mais je ne trouve que des exemples/réponses prouvant l'inverse = 0 et j'ai moi-même essayé un tas de méthodes en vain (termes élargis, règle de L'Hopitals avec d'innombrables dérivations différentes qui étaient toutes fausses). Quelqu'un peut-il m'orienter dans la bonne direction, je suis complètement bloqué...

Answer 1

Notez que$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. En dessinant les graphiques pertinents, vous pouvez voir :

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

Calculez maintenant l'intégrale$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, donc ce qui précède devient

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

Et maintenant, nous obtenons votre résultat par le théorème de compression, après division.

Answer 2

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$et donc$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

En évaluant cette limite de la borne supérieure, vous obtiendriez$2$puisque$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Cependant, si vous choisissez$\epsilon >1$, vous voyez

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$et donc$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

et depuis$\epsilon>1$(arbitraire), vous pouvez conclure que$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(vous pouvez facilement obtenir la borne inférieure) et donc la limite doit être$1$.

Answer 3

En utilisant$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$on a$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

Une addition.

Pour le côté gauche, la première étape de l'induction est claire. Puis$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$car$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$est équivalent$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.

Pour le côté droit$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 4

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

En appliquant la règle de L'Hôpital,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

En appliquant à nouveau, les rendements

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

Le dénominateur se rapproche de 1 lorsque$x\rightarrow \infty$.