Prouver qu'un certain sous-ensemble est un sous-complexe CW

Question

J'ai quelques problèmes avec un détail dans une preuve de la topologie algébrique de Hatcher (Prop. A.1 à la p. 520 pour ceux qui sont intéressés, même si je ne pense pas que ce soit pertinent): Nous avons un complexe CW$X$ Et un $n$-cellule $e_\alpha^n \subset X$, et l'image de la carte de rattachement de cette cellule est contenue dans un sous-complexe fini $A \subset X$. Hatcher affirme que$A \cup e_\alpha^n$est un sous-complexe fini, mais j'ai du mal à comprendre pourquoi. J'essaye de montrer que la limite de$e_\alpha^n$ est contenu dans $A$mais je ne vais nulle part. Est-il vrai en général que la fermeture d'un$n$-cell est son union avec l'image de sa carte attenante?

EDIT: Je voudrais le prouver sans invoquer le fait que les complexes CW sont Hausdorff, car le livre ne l'a pas encore prouvé.

Answer 1

Il est extrêmement, extrêmement facile de montrer qu'un complexe CW est Hausdorff, incluez-le dans votre preuve si cela vous inquiète.

Avec ce fait, la fermeture d'une cellule ouverte $e \rightarrow X$ est l'image de $e \cup S^n \rightarrow X$donnée par l'inclusion de la cellule ouverte et de la carte caractéristique sur la frontière. Ceci est dû au fait$e \cup S^n = D^{n+1}$est compacte, et l'image d'un ensemble compact est compacte ce qui dans un espace de Hausdorff implique fermé. C'est le plus petit ensemble fermé contenant l'image de$e$ puisque tout point de l'image de la carte caractéristique se trouve à la limite de l'image de $e$.