Prouver que la fonction suivante est Riemann Integrable

Aug 19 2020

Laisser $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$être défini par \ begin {équation *} f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {for} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {sinon} \ end {cases} \ end {equation *} Prouvez que$f$ est Riemann Integrable.

Je sais que cela peut être prouvé par le fait que cette fonction $f$ n'est discontinue qu'en de nombreux points $\frac{1}{n}$, c'est donc Riemann Integrable.

Je veux voir la procédure qui consiste à trouver $L(P,f)$ et $U(P,f)$$P$ une partition est-elle prise en charge $[0,1]$. Je ne peux pas prouver que Riemann Integrable utilise cette procédure. Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît? Merci d'avance.

Réponses

2 RRL Aug 19 2020 at 00:53

Il est facile de montrer que $L(P,f) = 0$ pour toute partition.

Prendre $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (où $n$ est grande) et une partition qui comprend les sous-intervalles

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ et montrez que $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Pour toute $\epsilon > 0$ on peut choisir $n$ tel que $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ et le critère de Riemann est satisfait.