Prouver $\sum {\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {\prod \left( a+b \right) }{16abc}}\geq \frac{5}{4}$

Question

Pour $a,b,c>0.$ Prouver$:$ $${\frac {ab}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {bc}{ \left( b+c \right) ^{2}}}+{\frac {ac}{ \left( c+a \right) ^{2}}}+\,{\frac { \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) }{16abc}}\geqslant \frac{5}{4}$$ AM-GM le tue facilement, mais je pense que c'est difficile d'obtenir SOS$,$ Je ne peux pas!

Si $c=\min\{a,b,c\},$ on obtient ce qui suit par Maple$:$

Cependant, c'est moche. Alors je souhaite un autre SOS.

PS: Cette inégalité vient de Nguyen Viet Hung.

Il y a la preuve AM-GM ici: https://www.facebook.com/groups/1486244404996949/permalink/2695082927446418/

Donc je n'ai pas besoin de la preuve AM-GM.

Answer 1

Oui, SOS aide.

Nous devons prouver que $$\frac{\prod\limits_{cyc}(a+b)}{16abc}-\frac{1}{2}\geq\sum_{cyc}\left(\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right)$$ ou $$\frac{\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2}{16abc}\geq\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}$$ ou $$\sum_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{4}{(a+b)^2}\right)\geq0$$ ou $$\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{ab(a+b)^2}\geq0.$$