Prouver $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ si $f$ est non dégénéré
Laisser $f(\alpha, \beta)$ être une forme bilinéaire sur le $n$-espace linéaire dimensionnel $V$ sur le champ numérique $F$. Prouvez, si$f(\alpha, \beta)$ n'est pas dégénéré, pour tous les sous-espaces $V_1$ et $V_2$ de $V$, puis \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} où pour tout sous-espace $W$ de $V$, le groupe orthogonal gauche $W^{\perp_L}$et le bon groupe orthogonal $W^{\perp_R}$ sont définis par \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}
Par définition, je suis capable de montrer (dans ce sens, la non-dégénérescence $f$ n'est pas nécessaire) que $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. Je n'ai pas beaucoup de réflexions sur l'autre sens, en particulier sur la façon dont la non-dégénérescence$f$ devrait être appliqué?
Réponses
$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$
Nous prouvons d'abord par définition que \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} Laisser $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, alors pour tout $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, nous avons \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}
Par conséquent $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$, c'est à dire, $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. Inversement, si$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, alors pour tout $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, où $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, nous avons $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ c'est à dire, $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. La seconde égalité peut être prouvée de la même manière.
Si $f(\alpha, \beta)$ n'est pas dégénéré, nous montrons que pour tout sous-espace $W$ de $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Par définition,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. Pour montrer l'autre direction, il peut être montré par$f$ est non dégénéré que pour tout sous-espace $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$
Il s'ensuit alors que \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} Cette égalité et $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ impliquer que $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. De même,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.
Maintenant par $(1)$ et $(2)$, nous avons \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} Ceci complète la preuve.
(L'égalité $(*)$ peut être établie en construisant une carte entre $W^{\lbot}$ à l'espace de solution du premier $\dim(W)$ colonnes de la matrice $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)