Prouvez cela pour tous $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$

Question

$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$

Pour être honnête, je ne peux pas vraiment commencer,

Je voudrais demander à tout le monde de me donner une idée de la façon de le résoudre, donnez-moi un coup de pouce, merci.

Answer 1

nous réécrivons la somme comme ceci;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$

c'est juste le coefficient de $x^{n-1}$ en expansion $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$

Reconnaissez cela comme un médecin généraliste: nous cherchons donc le coefficient de $x^{n-1}$ dans $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$

ou $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ Le coefficient est $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$

Answer 2

À propos, le produit additionné ressemble au PMF de la distribution binomiale négative , qui consiste à lancer une pièce de monnaie à plusieurs reprises jusqu'à avoir$n$ têtes, il y a $\frac 12$ probabilité qu'il y ait eu au plus $n-1$ queues avant le $n$ème tête.

Laisser $\Pr(A)$ être la probabilité qu'il y ait eu au plus $n-1$ queues avant le $n$ème tête.

ensuite $1-\Pr(A)$ serait la probabilité que le $n$la queue apparaît alors qu'il y avait au plus $n-1$ têtes.

Pour une pièce juste, la tête et la queue sont symétriques, et ainsi

$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$