Prouvez qu'il n'y a pas de solutions entières pour $x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$
J'ai lutté sur ce problème pendant un certain temps maintenant, demandé à certains de mes pairs et enseignants, et je n'ai pas encore trouvé la solution. Voici le problème:
Prouvez qu'il n'y a pas de solutions entières à l'équation $$x\left(y^{2}-1\right)=y\left(2+\frac{1}{x}\right)$$
Voici ce que j'ai essayé:
- Expansion, déplacement des choses, factorisation (je n'ai pas pu en faire quelque chose d'utile)
- Expansion, conversion en équation cubique (trop difficile à résoudre)
- Expansion, conversion en quadratique, en utilisant la formule quadratique (je n'ai pas pu la simplifier suffisamment)
Ce serait formidable si vous pouviez aider!
Meilleur, Anay Aggarwal
Réponses
Réécrire l'équation comme $y/x=x(y^2-1)-2y$, nous voyons que nous devons avoir $x\mid y$(puisque le côté droit est un entier). Donc laisser$y=xu$ (avec $x\not=0$), on a
$$u=x(x^2u^2-1)-2xu$$
ce qui implique $x\mid u$ et $u\mid x$, alors $u=\sigma x$ avec $\sigma=\pm1$. Mais cela donne
$$\sigma x=x(x^4-1)-2\sigma x^2$$
ce qui simplifie (lors de l'annulation d'un $x$) à
$$x^4-2\sigma x-1-\sigma=0$$
et non plus $x^4-2x-2=0$ ni $x^4+2x=0$ a des racines entières (non nulles).
Eh bien tu ne peux pas avoir $x=0$ donc multipliez par $x$ obtenir $$x^2(y^2-1)=y(2x+1)$$
Alors soit tu as $y=\pm 1$ [ou $y=0$] (que vous pouvez exclure) ou le côté gauche est positif.
Maintenant, comparez les termes dans $x$ de chaque côté (attention à ce que $2x+1$ peut être négatif) et les termes de $y$ de chaque côté (avec le même soin).
On nous donne $x(y^{2}-1)=y\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$ avec $x,y\in\Bbb Z$. La présence du$1/x$ terme implique $x\neq0$ et donc $y\neq0$. Multiplier par$x$ donne $$x^2(y^2-1)=y(2x+1).$$Notez que $2x+1$est impair. Par conséquent$y$ ne peut pas être étrange, car alors $y^2-1$serait pair, et notre équation assimilerait un nombre pair à un nombre impair. Alors$y$est même. Par conséquent$x^2$ est pair, et donc $x$. Il s'ensuit que$y$ est divisible par $4$. ensuite$|(y^2-1)/y|=|y-1/y|>3$, tandis que $|(2x+1)/x^2|=|2/x+1/x^2|<2$. Par conséquent, notre équation ne peut pas être satisfaite.
Bienvenue chez MSE. Vous pouvez résoudre pour$y$ en utilisant la formule quadratique: $$ y = \frac{2x+1\pm\sqrt{4 x^4+4 x^2+4 x+1}}{2 x^2} $$Nous remercions JW Tanner d'avoir récupéré cette réponse. Pour$x\ge 1$, $4x^4+4x^2+4x+1$ est entre $(2x^2+1)^2$ et $(2x^2+2)^2$, donc sa racine carrée n'est pas un entier. De même, pour$x\le-1$, c'est entre $4x^4$ et $(2x^2+1)^2$, et nous pouvons écarter le cas $x=0$dans l'équation d'origine. Alors il n'y a pas de solutions entières.
Nous avons
$$xy^2-x = 2y+\frac{y}{x}$$ $$x^2y^2-x^2=2xy+y$$ $$x^2y^2-x^2-y-2xy = 0$$ Résoudre comme un quadratique dans $x$
$$(y^2-1)x^2-(2y)x-y = 0$$
Utiliser la formule quadratique
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^2+(4y^3-4y)}}{2(y^2-1)}$$
$$x = \frac{2y\pm \sqrt{4y^3+4y^2-4y}}{2y^2-2}$$
Nous pouvons factoriser un $2$ obtenir
$$x = \frac{y\pm \sqrt{y^3+y^2-y}}{y^2-1}$$
Jetez un œil à la racine carrée, la seule racine rationnelle est $y = 0$ (par RRT), mais en testant cette solution, $x = 0$, et la première expression a un $\frac{y}{x}$ dedans, et évidemment en divisant par $0$ est illégal dans ce cas.
Une autre façon de voir ça $y = 0$ est la seule racine rationnelle est de factoriser
$$y^3+y^2-y = y(y^2+y-1)$$
ensuite $y^2+y-1$ n'a pas de racines rationnelles.
Par conséquent, il n'y a pas de solutions entières.
Bien que vous mentionniez que la représentation graphique ne fournit pas réellement de preuve, cela peut aider à reconnaître les points intéressants. Si nous représentons graphiquement l'équation à Desmos, nous obtenons:
https://www.desmos.com/calculator/tplmejuuj0
Ce graphique montre clairement qu'il n'y a pas de solutions entières autres que $(0,0)$, que nous devons éliminer car nous ne pouvons pas avoir $x=0$. Mais comment le prouver? Je pense qu'une preuve par contradiction est notre meilleur pari.
Présumer $x, y \in \mathbb Z $. Puis le côté gauche$x(y^2-1)$ est toujours un entier.
Nous savons déjà $x \neq 0$
Tout d'abord, considérez $x = \pm 1$. Nous avons$y^2 - 1 = 3y$ ou $1-y^2=y$. Ni$y^2-3y-1$ ni $y^2+y-1$ a une racine rationnelle (Par le théorème de la racine rationnelle, $y$ ne peut être $\pm 1$, et aucun des deux choix ne nous donne un zéro).
Deuxièmement, considérez $x$est tout autre entier. Par conséquent$2+1/x$n'est pas un entier. Puisque nous savons que le côté gauche doit être un entier, pour que le côté droit soit également un entier,$y$ doit être un multiple entier de $x$, ou $y=kx, k \in \mathbb Z$. Dans ce cas, nous avons:
$$ x(k^2x^2-1) = 2kx +k $$ $$ k^2x^3-x = 2kx+k $$ $$k^2x^3-2kx -x-k = 0 $$
D'après le théorème de racine rationnelle, toute racine entière doit être l'une des $\{\pm1,\pm k,k^2\}$. Étant donné qu'aucune de ces racines ne rend le côté gauche égal à zéro pour un entier$k$, il n'y a pas de racines entières pour $|x| > 1$.
Nous avons éliminé toutes les solutions entières possibles pour $x$. Il n'y a donc pas de solution avec$x,y \in \mathbb Z$.
Un peu compliqué, mais j'espère que cela aide.