Prouvez que la somme des rayons des cercles

Question

$ABCD$est un quadrilatère cyclique. Prouver que la somme des rayons des cercles dessinés à l'intérieur des triangles$\Delta ABC$ et $\Delta CDA$ est égal à la somme des rayons des cercles dessinés à l'intérieur des triangles $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

J'ai eu l'idée que je peux utiliser le https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralspour prouver que la distance entre les centres est égale - ils font un rectangle - mais je ne peux pas le résoudre. Veuillez aider.

Answer 1

Allusion. Utilisez le théorème de Carnot: Étant donné un triangle$\Delta ABC$, laisser $O$ désigner son circoncentrique, $R$ son circumradius, et $r$son inradius. Laisser$O_1,O_2,O_3$ être en outre les projections orthogonales de $O$ sur $BC, CA, AB$respectivement. Nous avons alors$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Avis: Le segment $OO_i$ est considéré comme négatif si $OO_i$ se trouve complètement à l'extérieur $\Delta ABC$et positif autrement.

Ici,$\color{blue}{OO_2}$ serait négatif, tandis que $\color{red}{OO_1, OO_3}$sont positifs. Pour plus de commodité, laissez$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Remarquerez que$OO_3BO_1$ est un quadrilatère cyclique puisque $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, et par conséquent, vous pouvez utiliser le théorème de Ptolémée pour déduire $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$De même, vous obtiendrez \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {cas}

Additionnez-les et considérez l'équation bien connue $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (voyez-vous maintenant pourquoi il est important de prendre $OO_2$être négatif?). La première partie n'est qu'une conséquence de la division$\Delta ABC$en trois triangles avec l'incenteur comme sommet. La deuxième partie est triviale. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Maintenant, revenons à votre problème, il est plutôt facile de terminer une fois que nous avons ce bijou :)

(Je ferai référence à l'image.) Notez que l'utilisation du théorème de Carnot deux fois, une fois pour $\Delta ABD$ et encore pour $\Delta BCD$, on obtient $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Remarquerez que $OO_5$ est négatif pour $\Delta ABD$ et positif pour $\Delta BCD$. Ainsi, si vous ajoutez ces deux équations, vous obtiendrez$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Il est facile de voir que cette expression sera identique en se référant à $r_3+r_4$.