Prouvez que pour les variables aléatoires indépendantes $X_i$, nous avons $f_i(X_i)$ sont indépendants.
J'ai vu de nombreux articles décrivant le cas de seulement 2 variables aléatoires.
Variables aléatoires indépendantes et fonction de celles-ci
Les fonctions des variables indépendantes sont-elles également indépendantes?
Si $X$ et $Y$ sont indépendants alors $f(X)$ et $g(Y)$ sont également indépendants.
Si $X$ et $Y$sont indépendants. Que diriez-vous$X^2$ et $Y$? Et que diriez-vous$f(X)$ et $g(Y)$?
Les carrés des variables aléatoires indépendantes sont-ils indépendants?
Prouvez que si $X$ et $Y$ sont indépendants, alors $h(X)$ et $g(Y)$sont indépendants en probabilité BASIQUE - pouvons-nous utiliser une double intégration? (oh j'ai en fait demandé le cas élémentaire à 2 variables ici, mais il n'y a pas de réponse)
Je n'ai pas encore vu un article décrivant le cas d' au moins 3 .
Veuillez répondre dans 2 situations
1 - pour la théorie des probabilités avancée:
Laisser $X_i: \Omega \to \mathbb R$ être des variables aléatoires indépendantes dans $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$. Laisser$i \in I$pour tout ensemble d'index que je pense (ou doit peut-être être dénombrable). Bien sûr, supposons$card(I) \ge 3$. Puis, montrez$f_i(X_i)$sont indépendants. Donnez des conditions sur$f_i$ tel que $f_i(X_i)$est indépendant. J'ai lu dans les articles ci-dessus que la condition est `` mesurable '', ce qui signifie, je suppose$\mathscr F$- mesurable, mais j'aurais pu jurer avoir lu avant que la condition est censée être `` bornée et mesurable par Borel '', comme dans borné et $\mathscr B(\mathbb R)$-mesurable pour $(\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R), Lebesgue)$
2 - pour la théorie des probabilités élémentaires
Laisser $X_i: \Omega \to \mathbb R$être des variables aléatoires indépendantes qui ont des pdf. Utilisez la définition de probabilité élémentaire de l'indépendance qui est «indépendante si le pdf conjoint se sépare», ou quelque chose du genre. Je suppose que l'ensemble d'index$I$n'a pas besoin d'être fini, auquel cas je pense que la définition est que le pdf conjoint de tout sous-ensemble fini de est indépendant . Donnez des conditions sur$f_i$ tel que $f_i(X_i)$est indépendant. Bien sûr, nous ne pouvons pas dire exactement ça$f_i$ est «mesurable».
Contexte pour le cas élémentaire: j'essaie de justifier le calcul de la formule de la fonction génératrice de moment pour une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes . Voir ici: Prouver l'inégalité de probabilité pour dériver la borne supérieure des fonctions génératrices de moment
Sur la base de l'application de l'intégrale de Riemann – Stieltjes (ou intégrale de Lebesgue – Stieltjes) à la probabilité , je pense que la condition est$f_i$ tel que $E[f_i(X_i)]$ existe (ie $E[|f_i(X_i)|]$ est fini).
C'est la même condition dans Larsen et Marx - Introduction à la statistique mathématique et ses applications .
je pense $f$ borné implique cela mais pas l'inverse.
Mise à jour : également lié à une autre question Si$g$ est une fonction continue et croissante de $x$, prouve-le $g(X)$est une variable aléatoire. -> Plus généralement pour quelles fonctions$g$ est $g(X)$est une variable aléatoire? Bien sûr, en probabilité avancée, dites simplement$g$ est mesurable par Borel ou $\mathscr F$-mesurable ou peu importe, mais je pense qu'en probabilité élémentaire on dit $g$ tel que $E[g(X)]$ existe ie $E[|g(X)|] < \infty$, MÊME SI c'est, je crois, une condition plus forte que ça $g$est «mesurable», quoi que cela signifie en probabilité élémentaire. Mais là encore, c'est un peu bizarre car nous ne nous attendons même pas nécessairement$E[X]$ exister (ie $E[|X|] < \infty$) ou bien tout moment supérieur $E[X^n]$ J'imagine.
Réponses
Pour $i\in I$ laisser $\sigma\left(X_{i}\right)\subseteq\mathscr{F}$ dénotent le $\sigma$-algèbre générée par une variable aléatoire $X_{i}:\Omega\to\mathbb{R}$.
Alors en fait nous avons $\sigma\left(X_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\left\{ X_{i}^{-1}\left(B\right)\mid B\in\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $.
La collection $(X_i)_{i\in I}$ des variables aléatoires est indépendant ssi:
Pour chaque fini $J\subseteq I$ et chaque collection $\left\{ A_{i}\mid i\in J\right\} $ satisfaisant $\forall i\in J\left[A_{i}\in\sigma\left(X_{i}\right)\right]$ nous avons:
$$P\left(\bigcap_{i\in J}A_{i}\right)=\prod_{i\in J}P\left(A_{i}\right)\tag {1}$$
Maintenant si $f_{i}:\mathbb{R}\to Y_{i}$ pour $i\in I$ où $\left(Y_{i},\mathcal{A}_{i}\right)$ désigne un espace mesurable et où chaque $f_{i}$ est mesurable par Borel en ce sens que $f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\subseteq\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)$ puis pour vérifier l'indépendance, nous devons regarder $\sigma$-algèbres $\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
Mais évidemment: $$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)=\left(f_{i}\circ X_{i}\right)^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)=X_{i}^{-1}\left(f_{i}^{-1}\left(\mathcal{A}_{i}\right)\right)\subseteq X_{i}^{-1}\left(\mathscr{B}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\sigma\left(X_{i}\right)$$ Donc si $\left(1.A\right)$ est satisfait pour le $\sigma\left(X_{i}\right)$alors automatiquement il est satisfait pour le plus petit$\sigma\left(f_{i}\left(X_{i}\right)\right)$.
2)
Le concept d' indépendance des variables aléatoires a un impact sur les PDF et le calcul des moments, mais sa définition s'en détache complètement. En se basant par exemple sur une scission des PDF, on peut déduire qu'il y a indépendance, mais des choses comme celle-là ne doivent pas être promues au statut de «définition de l'indépendance». Dans de telles situations, nous pouvons tout au plus dire que c'est une condition suffisante (non nécessaire) pour l'indépendance. Si nous nous demandons: "ce qui est nécessaire pour le$f_i(X_i)$ être indépendant? "alors nous devons nous concentrer sur la définition de l'indépendance (conditions non suffisantes). Ce faisant, nous constatons que la mesurabilité du $f_i$ suffit chaque fois que le $X_i$ sont déjà indépendants.
BCLC edit: (laissez drhab éditer cette partie plus loin): Il n'y a pas de `` mesurable '' dans la probabilité élémentaire, donc nous disons simplement `` convenable '' ou `` bien comporté '' en ce que quelles que soient les fonctions que les étudiants de probabilité élémentaire rencontreront, nous espérons qu'elles conviennent. Certains manuels utiliseront probablement des conditions plus faibles que «mesurables» qui seront utilisées comme définition de l'indépendance pour ce livre.
Edit : Les fonctions qui ne sont pas mesurables (ou qui ne conviennent pas, si vous le souhaitez) sont dans le contexte habituel très rares. L'axiome du choix est nécessaire pour prouver l'existence de telles fonctions. En ce sens, vous pourriez dire que les fonctions constructibles (aucune fonction de choix arbitraire n'est nécessaire) conviennent.
mesure-théorique :
La réponse théorique de la mesure est extrêmement générale. Il ne nécessite rien de spécial sur la ligne réelle ou les ensembles Borel, juste une mesure de mesure pure. Supposer$(X)_{i \in I}$ est une famille (dénombrable n'est pas nécessaire) d'éléments aléatoires, où $X_i: (\Omega, \mathscr{F}) \to (A_i, \mathscr{A}_i)$, c'est-à-dire chacun $X_i$ prend des valeurs dans un certain espace $A_i$ et $X_i$ est mesurable, mais tout $X_i$ vivre sur le même espace d'entrée $\Omega$. Aucune hypothèse n'est faite sur les espaces$\Omega, A_i$ ou $\sigma$-algèbres $\mathscr{F}, \mathscr{A}_i$.
Soit une famille de fonctions correspondante $(f_i)_{i \in I}$ être donné de telle sorte que pour chaque $i$, $f_i: (A_i, \mathscr{A}_i) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$est mesurable. Autrement dit, chacun$f_i$ accepte les entrées de $A_i$ (le codomaine de $X_i$) et prend des valeurs dans un certain espace $B_i$ tel que $f_i$est mesurable. (Cela garantit que pour chaque$i$, $f_i(X_i): (\Omega, \mathscr{F}) \to (B_i, \mathscr{B}_i)$ a du sens et est mesurable.) Encore une fois, aucune hypothèse n'est faite sur les espaces $B_i$ ou $\sigma$-algèbres $\mathscr{B}_i$.
Supposons maintenant $(X_i)_i$ est une famille indépendante sous une certaine mesure de probabilité $P$ sur $(\Omega, \mathscr{F})$, c'est à dire que pour tout sous-ensemble fini $J \subseteq I$ d'indices et de tout sous-ensemble mesurable $U_i \in \mathscr{A}_i$ on a $$P(X_i \in U_i \text{ for all } i \in J) = \prod_{i \in J} P(X_i \in U_i).$$
Ensuite, nous affirmons que $(f_i(X_i))_{i \in I}$ est aussi une famille indépendante sous $P$. En effet, laissez$J \subseteq I$ être un sous-ensemble fini d'indices et laisser des sous-ensembles mesurables $V_i \in \mathscr{B}_i$être donné. Pour chaque$i \in J$, par la mesurabilité de $f_i$ et $V_i$, on a ça $f_i^{-1}(V_i) \in \mathscr{A}_i$ Et ainsi $$ P(f_i(X_i) \in V_i \text{ for all } i \in J) = P(X_i \in f^{-1}_i(V_i) \text{ for all } i \in J) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(X_i \in f^{-1}_i(V_i)) $$ $$ = \prod_{i \in J} P(f_i(X_i) \in V_i). $$ Donc, $f_i(X_i))_{i \in I}$ est une famille indépendante.
probabilité élémentaire :
Quant à la solution de probabilité élémentaire, elle dépend vraiment de votre définition de l'indépendance. Dans tous les cas, la définition n'implique que des sous-ensembles finis des variables aléatoires. Je dirais que sans la définition d'un$\sigma$-algèbre, la preuve est hors de portée à moins que vous ne fassiez des hypothèses supplémentaires (inutiles). Si votre définition est que les densités se divisent en produit, vous devez assumer certaines conditions pour vous assurer que$f_i(X_i)$a une densité et que vous pouvez appliquer les règles de transformation de densité habituelles. Si vos fonctions prennent des valeurs dans un espace dénombrable, la preuve ci-dessus peut être répétée essentiellement verbatim en remplaçant arbitraire$U_i, V_i$ avec des singletons, c'est-à-dire regarder $P(f_i(X_i) = y_i, \forall i)$.
Alternativement, puisque vous évitez une réponse théorique de la mesure à une question dont la définition même est la théorie de la mesure, peut-être que l'exactitude de l'argument n'est pas une exigence? Dites simplement à vos élèves que la condition d'indépendance doit être valable pour «tous les ensembles (astéristk verbal)» et donnez ensuite la preuve ci-dessus sans mentionner la mesurabilité. Ou si vos étudiants sont peut-être plus à l'aise avec la topologie, vous pouvez utiliser uniquement des fonctions continues et regarder les pré-images d'ensembles ouverts.