Prouvez que si $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , et $~\sum c_n=C$ [dupliquer]

Question

Laisser $\{a_n\}$, $\{b_n\}$être des séquences. Définir$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}$.

Prouvez que si $~\sum a_n=A~$ , $~\sum b_n=B~$ , et $~\sum c_n=C~$ (donc ce sont toutes des séries convergentes) alors $C=AB$. (Notez que nous n'avons pas besoin$\sum a_n$ être absolument convergent).

Bonjour tout le monde. Je ne sais pas comment démarrer ce problème. Je ne veux pas de réponse, juste un indice sur la façon de commencer.

Answer 1

Je suis désolé d'avoir mal compris la question précédemment. Ce que vous recherchez est probablement ceci , qui dit:

Laisser $\sum a_{n}~$ , $\sum b_{n}$ sont des séries complexes conditionnellement convergentes, $\sum c_{n}$ est le produit de Cauchy de $\sum a_n$, $\sum b_n$ tel que $\sum c_n$converge. Ensuite,$$\sum c_{n} = \left(\sum a_{n}\right)\left(\sum b_{n}\right)$$

Pour une preuve complète, veuillez vous référer au même lien que ci-dessus.

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EDIT: mis à jour les liens. Désolé pour la gêne occasionnée.