Pseudoinverse d'une matrice diagonale

Question

Soit matrice$A \in \Bbb R^{n \times n}$ont$k$éléments diagonaux, où$k < n$, et le reste des éléments sont nuls. J'essaie de trouver la pseudo-inverse de$A + \lambda I$lorsque$\lambda$se rapproche de zéro.

Alors$\frac{1}{a_i + \lambda}$seraient les éléments diagonaux pour$i$allant de 1 à$k$du pseudo inverse et$\frac{1}{\lambda}$serait le reste des éléments diagonaux. Si je mets$\lambda$égal à zéro alors le pseudo inverse serait une matrice avec des éléments de$A$matrice inversée, mais il y aurait des éléments allant à l'infini. Mais cela ne sonne pas juste. Qu'est-ce qui ne va pas dans cette logique ?

Answer 1

Le problème est que le pseudo inverse n'est pas une fonction continue sur l'espace des matrices exactement comme vous l'avez montré. Considérez la matrice 1d$(x)$pour$x\in\mathbb R$. Alors la carte pseudo-inverse est$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Ce n'est pas un continu à zéro, et nous ne nous attendrions donc pas à ce qu'il préserve une limite d'un élément à zéro. La même chose se produit avec votre exemple lorsque nous nous limitons au noyau de$A$.