Puzzle coulissant 3 x 2
Serait-il possible de résoudre un puzzle glissant comme celui-ci (x est l'espace)?:
1 3 2
4 5 x
Je n'ai pas pu résoudre ça et je ne sais même pas si c'est possible.
Réponses
Solution:
non, il n'est pas possible de passer de la position que vous avez donnée au puzzle "résolu" avec $1,2,3,4,5$dans le bon ordre et l'écart en bas à droite. Cela peut être prouvé de la même manière que l'original (célèbre) " 14,15 puzzle ".
Il peut être montré en utilisant une théorie de base des groupes, similaire à la preuve trouvée ici .
Chaque position du puzzle peut être interprétée comme une permutation de $\{1,2,3,4,5,6\}$, avec le carré vide interprété comme $6$. Chaque mouvement du puzzle peut alors être interprété comme une transposition dans le groupe symétrique$S_6$, permutant le carré vide $6$avec l'une des tuiles réelles. La position que vous avez donnée est à une transposition de la position résolue, mais elle ne peut être atteinte que dans un nombre pair de$6$-swaps, depuis ce carré vide $6$doit se retrouver dans la même position, il doit donc avoir eu un nombre pair de mouvements de haut en bas et un nombre pair de mouvements de gauche à droite. Mais toute combinaison d'un nombre pair de transpositions doit être dans le groupe alterné$A_6$, et donc nous ne pouvons pas parvenir à une seule transposition par une telle combinaison.
Si votre objectif est d'obtenir «1 2 3» sur la première ligne et «4 5 x» sur la seconde, la réponse est non , ce n'est pas possible.
Ceci est une version plus petite du puzzle 14-15 de Sam Loyd . Si vous avez un puzzle coulissant avec un seul espace vide, vous pouvez vérifier s'il peut être résolu en fonction de la parité - le nombre de commutateurs dont vous auriez besoin pour obtenir la solution. Spécifiquement:
- Commencez par faire des mouvements pour que la tuile vide soit au bon endroit.
- Imaginez maintenant que vous puissiez choisir comme par magie deux tuiles pour échanger des positions. Combien de swaps faut-il pour résoudre le puzzle?
Si le nombre de swaps est pair, le puzzle original peut être résolu. Si le nombre de swaps est impair, le puzzle original ne peut pas être résolu. (En d'autres termes, à partir d'un casse-tête résolu, quels que soient les mouvements que vous effectuez, vous serez toujours dans le cas pair - il n'y a aucun moyen de sauter entre les deux cas simplement en faisant glisser des tuiles. Vous auriez à tricher en prenant le tuiles.)
Dans votre exemple, il y a exactement un échange nécessaire pour résoudre le puzzle. Il n'est donc pas possible de résoudre par glissement.