Qu'entend-on exactement par «densité» dans la fonction de densité de probabilité (PDF)? [dupliquer]
En général, la densité est la masse / volume. Il est également utilisé pour quelque chose comme la densité de population, qui est la population / la zone unitaire.
Quelle est la signification de la densité de mots dans les PDF?
Réponses
Réponse courte: comme pour la densité physique, la densité de probabilité est la probabilité / volume.
Réponse longue: pour des objets homogènes, la densité peut être définie comme vous l'avez dit,$m/V$, avec $m$ désignant la masse et $V$son volume. Cependant, si votre objet n'est pas homogène, la densité est fonction des coordonnées spatiales au sein de l'objet:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$c'est-à-dire la masse à l'intérieur d'un volume infinitésimal autour des coordonnées données, divisée par ce volume infinitésimal. Pensez à un pudding aux prunes: la densité au niveau des raisins secs est différente de la densité à la pâte.
Pour la probabilité, c'est fondamentalement la même chose: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ où $f$ est la fonction de densité de probabilité (PDF) et $F$ la fonction de densité cumulée (CDF), de sorte que $\Delta F$ est la probabilité infinitésimale dans le volume infinitésimal $\Delta V$ au voisinage des coordonnées $(x, y, z)$ dans l'espace sur lequel $F$ est défini.
Maintenant, nous vivons dans un monde physique avec trois dimensions spatiales, mais nous ne sommes pas limités à définir des probabilités juste au-dessus de l'espace. En pratique, il est beaucoup plus courant de travailler avec des probabilités définies sur une seule dimension, disons,$x$. Ensuite, ce qui précède se simplifie en$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ Mais, bien sûr, en fonction de votre modèle de probabilité, $F$ et $f$ peut être défini sur n'importe quel nombre de dimensions.
Vous pourriez voir le dérivé de Radon-Nikodym comme une définition formelle d'une notion plus générale de densité.
C'est le rapport de deux mesures (qui ont la propriété extensive , elles sont additives ) définies sur le même espace .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
Ce ratio fait la seule mesure de la quantité $\nu$ d'un ensemble $S$ exprimable par une intégrale sur l'autre mesure $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
Typiquement le dénominateur $\mu$est une mesure basée sur une mesure métrique comme la distance, la surface ou le volume. Ceci est courant pour les densités en physique comme la densité de masse, la densité d'énergie, la densité de charge, la densité de particules.
Avec la densité de probabilité, le dénominateur peut être plus généralement un autre type de variable qui ne se rapporte pas à l'espace physique . Pourtant, il est souvent similaire dans l'utilisation de la mesure euclidienne ou de la mesure de Lebesgue . C'est juste que la variable n'a pas besoin d'être une coordonnée dans l'espace physique.
Pour une seule variable aléatoire continue, la valeur du pdf au point $t$vous indique la densité de la masse de probabilité , mesurée en unités de masse de probabilité par unité de longueur , au point$t$sur la vraie ligne. La densité de la masse de probabilité peut être différente en différents points sur la droite réelle; ce n'est pas aussi facile que la prescription masse / volume de la physique au lycée.