Quand est-il possible d'utiliser l'identité Parseval-Plancherel pour résoudre une intégrale?
L'intégrale est de la forme $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Où la transformée de Fourier du$\sigma$ la fonction est $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ et la fonction $\mu(x)$ est donné par $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.
La transformée de Fourier de $\mu(x)$ peut être trouvé assez facilement $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.
La question est:
Est-il possible d'utiliser l'identité Parseval-Plancherel et d'écrire l'intégrale ci-dessus comme $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?
Si tel est le cas, l'intégrale ci-dessus devient $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$
Qui ressemble à une transformée de Fourier de $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$fonction. Comment cette transformée de Fourier est-elle calculée?
Réponses
Rappelons l'identité de la transformée de Fourier $K(x)=\text{sech}(x)$ est $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.
En utilisant cette identité, la transformée de Fourier de $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ peut être facilement calculé
\ begin {équation} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {ident} \ end {équation}
En utilisant l'équation cette relation, l'intégrale donnée peut être facilement intégrée
\ begin {équation} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right) ) \ label {reste} \ end {équation}
Vérification numérique de la réponse. Graphique: Constante a Graphique constant c