Quand la composition de cartes linéaires est-elle un isomorphisme

Question

Laisser $T:V\rightarrow W$ et $L:W\rightarrow U$ être des cartes linéaires entre des dimensions finies $\mathbb{R}$-espaces vectoriels. Je suis curieux de savoir quand$L\circ T:V\rightarrow U$ est un isomorphisme.

Mon hypothèse est que $L\circ T$ est un isomorphisme si et seulement si $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (Je veux dire par là que$Im(L) \cap Ker(L)={0}$).

Voici ce que je suis allé loin, par ce post, nous savons que$L$ doit être injectif et (en argumentant à deux) nous constatons que $T$doit être surjectif. Donc, en appliquant le lemme de division : nous écrivons$W\cong V\oplus U$. Puisque$T$ est injective et linéaire alors $V\cong Im(T)$. Maintenant, depuis$L$ est surjectif alors si $Im(T)$ intersecte $\ker(L)$ de manière non triviale (c'est-à-dire plus que juste à $0$) puis $Im(L)$ est de dimension strictement inférieure à $U$; d'où il ne peut être surjectif. Donc,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. La direction inverse est claire.

Mon argument serait-il également valable si $L\circ T$ est seulement injectif?

Answer 1

Le lemme du clivage ne s'applique pas dans cette situation. Aussi pour$L \circ T$ être bijectif $L$ doit être surjectif et $T$ injectif.

La déclaration suivante est vraie pour toutes les compositions de cartes. $L \circ T$ est bijectif ssi $T$ est injectif et $L|_{im T} $est bijectif. Lorsque vous regardez des cartes linéaires, cela se traduit par:

$L \circ T$ est bijectif ssi $T$ est injectif, $L$ surjectif et $im(T) \cap ker(L) = {0}$