Que signifie / contient réellement cet ensemble? [dupliquer]

Question

J'ai du mal à comprendre l'ensemble suivant:

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] := \{ a + \sqrt{2}b : a,b \in \mathbb{Z}\}$$Quels éléments contient-il réellement? j'ai pensé$\mathbb{Z}$ ne contient que des entiers, alors qu'est-ce que la racine de $2$ derrière $\mathbb{Z}$ signifier?

Merci.

Answer 1

Tu as raison: $\mathbb{Z}$ne contient que des entiers. L'ensemble affiché ici, cependant, est un sous-ensemble de$\mathbb{R}$ et peut ainsi contenir $\sqrt{2}$.

La notation dit qu'elle contient tous les éléments du formulaire $a+\sqrt{2}b$, où $a$ et $b$sont des nombres entiers. Laissez-moi vous donner quelques exemples:

$a=b=1$: Ensuite $a+\sqrt{2}b = 1+\sqrt{2}$.

$a=b=0$: Ensuite $a+\sqrt{2}b = 0$.

$a=3, b=-2$: Ensuite $a+\sqrt{2}b = 3-2\sqrt{2}$.

$b = 0$: Ensuite $a+\sqrt{2}b = a$et à cause de cela, tout entier est dans votre ensemble. Mais comme vous l'avez vu aussi des non-entiers comme$1+\sqrt{2}$ peut faire partie de cet ensemble.

J'espère que cela aidera à éclaircir un peu les choses.