Quel PDE 2D avec une solution exacte puis-je utiliser pour tester / vérifier mon code FEM-PDE?

Question

J'ai créé un programme pour résoudre des PDE 2D dépendant du temps avec la méthode des éléments finis et obtenir des résultats raisonnables pour l'équation d'onde acoustique 2D. Maintenant, je voudrais aller plus loin et résoudre un PDE avec une solution exacte / analytique connue à comparer. Cependant, j'ai beaucoup de mal à trouver une équation appropriée. Il semble qu'il n'y ait pas d'équations 2D dépendant du temps avec une solution analytique qui n'implique pas de sommes infinies ou autres. J'ai pensé à prendre une équation 1D et à l'étendre à deux dimensions en la résolvant simplement sur un domaine 2D sans rien changer, en effet en répliquant l'équation le long de l'axe y. Cependant, les conditions aux limites semblent gâcher les choses et ces équations 1D fonctionnent sur des domaines infinis, c'est-à-dire sur tout l'axe réel.

Y a-t-il une telle équation que j'utilise? Existe-t-il une méthode établie différente pour tester l'exactitude d'une implémentation de solveur PDE?

Answer 1

Comme le souligne le commentaire de Maxim, vous devriez être en mesure de créer n'importe quelle solution que vous aimez, de la lancer dans le PDE original et continu, de générer une fonction de forçage, des conditions aux limites (en fonction du temps) et de la condition initiale, les brancher dans votre programme, exécutez-le et comparez la réponse que vous obtenez à la fonction avec laquelle vous avez commencé. C'est ce qu'on appelle la méthode des solutions fabriquées et c'est un moyen très efficace d'établir la qualité des solutions de votre programme. C'est également un excellent moyen de réaliser des études de maillage et de raffinement par pas de temps qui peuvent répondre à vos besoins ou à ceux d'un critique.