Quel type de processus stochastique satisfait $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ pour tous $t,s \in \mathbb R^+$?

Question

Laisser $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ haricot $L^2$processus stochastique. Que dit-il sur$X$ si $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ pour tous $t,s \in \mathbb R^+$? Que dit-il sur$X$ si $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ pour tous $t,s \in \mathbb R^+$ ?

Existe-t-il une classe spéciale de processus qui satisfont à l'un des critères ci-dessus?

Maintenant, nous répétons les mêmes questions, mais nous supposons que $X$est un processus gaussien. Apprenons-nous quelque chose de nouveau?

Answer 1

Avec $s=t$ la condition est $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ qui force, que $Var(X_s)=1$ pour tous $s$. Et ainsi$$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ ce qui implique que la corrélation entre $X_s$ et $X_t$ est $1$ pour tous $s$ et $t$, et donc $X_t$ est presque sûrement une fonction linéaire de $X_s$, C'est $$X_t = aX_s + b$$ pour certains $a$ et $b$. Il ressort clairement de la condition de covariance que$a=1$ et nous pouvons voir que $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$. Ainsi nous pouvons écrire$$X_t = X_0 + f(t),$$ où $f(t)$ est la fonction déterministe $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$. Aussi tout processus défini comme$X_t := X_0 + f(t)$ avec $Var(X_0)=1$ et $f$ une fonction arbitraire satisfera la condition donnée.