Quelle est l'intuition derrière Bures et les métriques d'angle?
Je lis des mesures de distance pour comparer des processus quantiques réels et idéaux et il est expliqué la motivation derrière la métrique de Bures et la métrique d'angle.
La métrique de Bures est définie comme:
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
La métrique d'angle est définie comme:
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
Où $F(\rho,\sigma)$ est la fidélité entre $\rho$ et $\sigma$matrices de densité. Il dit qu'on peut comprendre une telle motivation sur des états purs: on verrait qu'elle vient de la distance euclidienne habituelle.
Si je fais de tels calculs, je définirais la distance euclidienne comme suit:
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Pour trouver la métrique de Bure, je dois supposer $\langle X | Y \rangle \geq 0$.
Mais pourquoi serait-ce le cas? Par exemple si je considère:
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
Je ne peux pas changer la phase relative entre $|a \rangle$ et $|b \rangle$ comme je veux (car cela changerait l'état physique $|\psi \rangle$). Ainsi si$\langle a | b \rangle $ n'est pas un nombre positif, je suppose que je ne peux pas faire grand-chose pour cela.
Comment comprendre l'intuition derrière une telle métrique alors? Dois-je réellement la considérer comme une définition «abstraite» sur laquelle je vérifie qu'elle satisfait les axiomes d'une métrique? Mais ce serait bizarre dans la façon dont le papier explique la motivation derrière.
Question similaire pour la métrique d'angle.
[modifier]: Je pense que cela pourrait venir du fait que nous voulons définir une distance entre les états physiques . Considérant$|\Phi \rangle$ et $| \Psi \rangle$deux état physique, leur phase globale n'a pas d'importance. Ainsi, pour avoir une formule simple, nous pouvons choisir leurs phases$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ pour que $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ qui correspondent à la borne supérieure: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. Cela a du sens car nous nous intéressons à la distance entre les états physiques et non mathématiques. On peut ainsi fixer les phases globales des deux états comme on le souhaite.
Cela a-t-il du sens ?
Réponses
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À partir de l'article lié, Mesure de la distance pour comparer les processus quantiques réels et idéaux [arXiv: quant-ph / 0408063] , la définition de la fidélité est donnée dans Eqn. (4) comme$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- ce qui peut paraître un peu intimidant, mais qui démontre deux choses importantes à propos de la fidélité: qu'elle est définie en général sur des opérateurs de densité (pas seulement des vecteurs d'état), et qu'il s'agit toujours d'un nombre réel non négatif. Si vous voulez le calculer pour des états purs, la définition ci-dessus finit par être équivalente à$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ qui est toujours un réel non négatif, et en particulier, qui ne dépend d'aucune phase globale que vous pourriez considérer pour l'état $\lvert \psi \rangle$ ou $\lvert \phi \rangle$ (qui ne sont pas des informations physiques sur l'état).
La métrique de Bures (de la deuxième colonne de la page 4) est alors $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ qui pour les états purs se simplifie en $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ où le maximum est pris sur les vecteurs unitaires $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ et $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.
Vous demandez (pas déraisonnablement) pourquoi, pour les états purs, vous prendriez la valeur absolue $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, au lieu de la vraie partie $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ comme vous le feriez si vous traitez directement avec les produits internes des vecteurs $\lvert \psi \rangle$ et $\lvert \phi \rangle$. La réponse est que, parce que nous nous intéressons aux états et pas en fait aux vecteurs particuliers qui représentent ces états, travailler directement avec les vecteurs d'état ne fournira pas nécessairement une réponse sensée. Pour un état$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, les valeurs de $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ et $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ ne sera généralement pas la même chose - mais si nous utilisons $\lvert \phi' \rangle$ ou $\lvert \phi \rangle$représenter l'état devrait être un choix purement arbitraire sans impact ni sur la physique ni sur notre analyse de la physique. Tout choix de formule doit être stable sous de tels choix arbitraires, et en outre (pour une métrique) doit donner la valeur$0$ si nous devions envisager différentes manières $\lvert \phi' \rangle$ et $\lvert \phi \rangle$ pour représenter le même état.
Gardez à l'esprit qu'en fin de compte, leur remarque sur la simplification à la métrique euclidienne a probablement été une tentative rapide de fournir une intuition, plutôt qu'une tentative sérieuse de fournir une déclaration formelle. Cependant, il y a un sens dans lequel la prise de la valeur absolue (ou si vous préférez, le produit intérieur maximal entre les états équivalents jusqu'aux phases globales) est la bonne approche pour considérer la connexion à la "distance euclidienne" entre les "états", et J'espère que c'est ce qu'ils ont à l'esprit.