Quelle est la différence entre ces deux solutions de cette question de probabilité ?

Question

Le problème : 8 boules identiques sont placées au hasard dans trois sacs. Quelle est la probabilité que le premier sac contienne 3 boules ?

La solution que j'ai trouvée : Nous pouvons répartir 8 balles identiques dans 3 sacs différents de 45 manières. Sur ces 45 manières, en 6 manières, le premier sac contiendra exactement 3 balles. Alors, la probabilité est$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$

Mais avec la distribution binomiale, et, c'est ainsi que la plupart des gens (sur Quora) ont résolu cette question, et, cette approche semble également assez intuitive, la probabilité qu'une balle soit placée dans le premier sac est de 13. La probabilité qu'exactement 3 des 8 balles finiront dans le premier sac peut être trouvée en utilisant la distribution binomiale :

8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273

Je veux juste savoir pourquoi les réponses de ces deux approches sont très différentes ?

Answer 1

Le problème dit que les balles sont placées "au hasard", mais il ne précise pas la distribution aléatoire ou le processus par lequel ces balles sont placées. La réponse dépend certainement de ces informations. Par exemple:

• Si quelqu'un énumère les 45 façons dont les balles pourraient finir, puis choisit l'une de ces 45 façons uniformément au hasard, alors la réponse est$2/15$comme tu dis.
• Si, indépendamment , chaque balle est placée dans l'un des trois sacs uniformément au hasard, alors la réponse est$1792/6561$comme l'a dit la réponse de Quora.

Ce ne sont pas les deux seules possibilités. Si quelqu'un lance une pièce et met toutes les boules dans le premier sac si la pièce est face et met toutes les pièces dans le deuxième sac si la pièce est pile, cela place toujours les boules "au hasard", mais la réponse à la question serait$0$.

Nous devons toujours spécifier une distribution de probabilité. Si nous voulons que les balles soient placées dans les sacs de manière uniforme et indépendante, nous devrions dire cela (même si ce serait ma meilleure estimation des intentions de l'écrivain).