Quelle est la valeur maximale possible de $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

Présumer $X_1,X_2,X_3$ sont des variables aléatoires discrètes définies sur un espace de probabilité commun $\Omega$ et prendre des valeurs dans $\{-1,1\}$. De plus, supposons que$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. Compte tenu de cela, quelle est la valeur maximale possible de$E[X_1 X_2 X_3]$?

C'est facile de voir ça $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ pour chaque $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Mais comment progresser plus loin? Toute aide serait appréciée.

Answer 1

Laisser $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Bien sûr, nous avons $-1 \le a \le 1$

Suite à cette paramétrisation, nous pouvons écrire la probabilité conjointe comme

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ ce qui donne des restrictions supplémentaires $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ ou $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ et $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Mais cela est vérifié par le candidat d'origine pour le maximum ($a=1$)

Par conséquent, le maximum est $E[X_1 X_2 X_3]=1$ qui est atteint par

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Soit quatre états chacun avec probabilité $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Vous pouvez vérifier que les conditions sont respectées. cependant,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

qui est clairement la valeur la plus élevée que cette expression puisse prendre.