Quels sont les nombres algébriques p-adiques?

Question

"Étant donné $p$, quels sont les éléments de $\mathbb{Q}_p$ algébrique sur $\mathbb{Q}$? "

Je me demande périodiquement cela et je tombe sur cette question mathoverflow qui semble demander la même chose. La réponse choisie ne semble pas répondre à cette question (que je peux voir), et googler "nombres algébriques p-adiques" renvoie cette question comme résultat principal. À ce moment-là, j'abandonne et j'attends d'oublier et j'essaye à nouveau. Alors cette fois, je vais demander:

Connaissez-vous une caractérisation (plus pratique) de $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ ou avoir des références pour le "$p$-nombres algébriques adiques? "

Je ne suis pas sûr qu'il y ait une caractérisation des «nombres algébriques réels» beaucoup plus satisfaisante que des «nombres algébriques réels», mais la valeur absolue p-adique est intrinsèquement plus «algébrique» que la valeur absolue réelle, et il y a des différences comme $p$ varie, alors quels sont-ils?

Answer 1

Laisser $O_\overline{\Bbb{Q}}$ être les entiers algébriques, prenez un idéal maximal $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ contenant $p$, laisser $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, ensuite $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ et $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ est (isomorphe à) le sous-champ de $\overline{\Bbb{Q}}$ fixé par $G$.

De manière équivalente, laissez $S$ être l'ensemble des extensions algébriques (degré infini) $K/\Bbb{Q}$ pour lequel un idéal maximal $\mathfrak{p}\subset O_K$ est telle que $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Puis$\Bbb{Z}_p$ est (isomorphe à) l'achèvement de $O_K$ à $\mathfrak{p}$, et $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ est (isomorphe à) tout élément maximal de $S$.