Question à Milnor&Stacheff - Classes de caractéristiques, Construction des classes de Chern

Question

Le paragraphe suivant est extrait du livre :

Nous allons maintenant donner une définition inductive des classes caractéristiques pour un complexe$n$-paquet d'avion$\omega=(\pi: E\to M)$. S'il faut d'abord construire un canonique$(n-1)$-paquet d'avion$\omega_0$sur l'espace total supprimé$E_0$. ($E_0$désigne l'ensemble de tous les vecteurs non nuls dans$E$.) Un point dans$E_0$est spécifié par une fibre$F$de$\omega$avec un vecteur non nul$v$dans cette fibre. Supposons d'abord qu'une métrique hermitienne a été spécifiée sur$\omega$. Puis la fibre de$\omega_0$est par définition le complément orthogonal de$v$dans l'espace vectoriel$F$. C'est un espace vectoriel complexe de dimension$n-1$, et ces espaces vectoriels peuvent clairement être considérés comme les fibres d'un nouveau fibré vectoriel$\omega_0$plus de$E_0$.

Question : J'ai compris comment l'espace total de$\omega_0$est défini. Mais comment est définie la topologie de l'espace total ? Il n'y a aucune mention à ce sujet.

Answer 1

Considérez les mappages suivants :

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi^*E @>>> E\\ @V \bar\pi VV @VV \pi V\\ E @>>\pi> M \end{CD}

qui induit un faisceau de pullback$\bar \pi : \pi^*E \to E$, où pour chaque$v\in E$,$$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$(c'est-à-dire que la fibre n'est que la fibre$F_x$, où$x = \pi(v)$).$\pi^*E$reçoit la topologie du bundle pullback. Depuis$E_0$est un sous-ensemble de$E$, la restriction donne un bundle

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

et le lot$\omega_0$construit dans le livre est un sous-ensemble de (1). Plus est a la topologie du sous-espace donnée par (1).