Rang de l'élément dans l'extension générique par rapport au rang de son nom
Je vois parfois le fait suivant utilisé dans certains arguments:
supposer $M[G]$ est une extension générique de $M$ par un forçage $\mathbb P$ et suppose $x\in M[G]$ a le rang $<\gamma$, où $\gamma$ est un ordinal limite au-dessus du rang$(\mathbb{P})$. Puis il y a un nom$\tau\in M^\mathbb{P}$ tel que $\tau_G=x$ et $\tau$ a le rang $<\gamma$.
Par exemple, ce fait est utilisé dans The Ground Axiom de Reitz pour prouver que le modèle de terrain est définissable, à la fin du premier paragraphe de la preuve du Lemme 7.1.
Mais je ne sais pas comment le prouver. Toute aide appréciée!
Ajouté après modification: si nous supposons en plus que $\gamma$ est un $\beth$-point fixe (de manière équivalente, $H_\gamma=V_\gamma$. Ceci est vrai dans le cas particulier du lemme 7.1 référencé ci-dessus), alors je pense que l'argument suivant fonctionne.
Par récurrence sur le rang, on montre que si $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, alors il y a un nom $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ tel que $\sigma_G=x$. Supposons donc que cela soit vrai pour tous les ensembles de rangs inférieurs à$x$. D'où chacun$y\in trcl(x)$ a un nom $n(y)$ dont le rang est inférieur à $\gamma$. Maintenant rassemblant tous ces noms, laissez$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. Puisque$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, nous savons $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. Cela signifie aussi que$|z|=\kappa$. Les revendications de cardinalité précédentes sont toutes dans le sens de$M[G]$, et nous corrigeons une surjection $f:\kappa\to z$ dans $M[G]$.
Laisser $\rho$ être un nom pour $x$ et $\tau$ être un nom pour $z$. Par le lemme de la vérité, nous pouvons en réparer$p\in G$ tel que $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$
Nous procédons ensuite à la définition de notre nom de rang inférieur $\sigma$ pour $x$. Pour chaque$\alpha<\kappa$, on laisse
$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ En d'autres termes, $X_\alpha$ recueille ces conditions ci-dessous $p$ qui forcera (l'évaluation) d'un élément dans $z$ être un élément de $x$.
Maintenant pour chacun $X_\alpha$, corrige une antichaine maximale $A_\alpha$qu'il intersecte. Pour chaque$\alpha<\kappa$ et $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, il y en a $\mathbb P$-Nom $v(\alpha,q)$ tel que $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. Maintenant, nous pouvons définir le nom$\sigma$ être $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ ensuite $\sigma$ est un nom dans $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$, et $p\Vdash \sigma=\rho$.
Deuxième modification: il semble que le cas particulier esquissé ci-dessus ait un double (?) Quoi qu'il en soit, je serais toujours intéressé de voir comment argumenter en faveur de la revendication la plus forte citée.
Réponses
Je vais travailler dessus $V$ au lieu de $M$. Je pense que la preuve suivante fonctionne$\mathsf{ZFC^-}$ (c'est à dire, $\mathsf{ZFC}$ sans Power Set et avec Collection et le principe du bon ordre) avec l'existence de $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (Surtout, ça tient plus$M=H_\theta$ pour grand régulier $\theta$.)
Lemme. Laisser$x\in V^\mathbb{P}$ être un nom tel que $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ et $\gamma$ être un ordinal supérieur à $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. Si$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, ensuite il y a $\tau\in V^\mathbb{P}$ tel que
$p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$, et
$\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, où $\gamma=\gamma_0+n$ pour une certaine limite $\gamma_0$ et $n\in\omega$.
Permettez-moi d'introduire une notation sur les ordinaux: pour chaque ordinal $\alpha$, $\alpha^*$ et $\alpha^@\in\omega$ être des ordinaux tels que $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ et $\alpha^*$ est un ordinal limite.
J'utiliserai l'induction au rang de $x$. Sans perte de généralité, on peut supposer que
si $(y,q)\in x$ puis $q\le p$, et
(Proximité descendante) si $(y,q)\in x$ et $r\le q$, puis $(y,r)\in x$
en remplaçant $x$ à $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ Puisque $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, nous avons $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.
Puis pour chacun $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. Trouver une antichaine maxinale$A_{y,q}$ au dessous de $q$ qui décide de la valeur ou $\operatorname{rank}y$; c'est-à-dire si$r\in A_{y,q}$ alors il y a un ordinal $\beta_{y,q,r}<\gamma$ tel que $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.
Par l'hypothèse inductive, on peut trouver $\tau_{y,q,r}$ tel que $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ et $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ Maintenant prends $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ Ensuite, nous pouvons prouver $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. Il reste à vérifier le rang de$\tau$. On peut voir ça$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$
Cas 1. Si $\gamma$ est un ordinal limite, alors le côté droit est strictement inférieur à $\gamma$. Par conséquent$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.
Cas 2. Si $\gamma=\gamma_0+n$ pour une certaine limite $\gamma_0$ et $1\le n<\omega$, puis $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ D'où le correspondant $\beta_{y,q,r}$ satisfait $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, Et ainsi $\tau_{y,q,r}$ satisfait $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ L'argument restant est direct, et nous avons $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.