Rang de l'élément dans l'extension générique par rapport au rang de son nom

Dec 04 2020

Je vois parfois le fait suivant utilisé dans certains arguments:

supposer $M[G]$ est une extension générique de $M$ par un forçage $\mathbb P$ et suppose $x\in M[G]$ a le rang $<\gamma$, où $\gamma$ est un ordinal limite au-dessus du rang$(\mathbb{P})$. Puis il y a un nom$\tau\in M^\mathbb{P}$ tel que $\tau_G=x$ et $\tau$ a le rang $<\gamma$.

Par exemple, ce fait est utilisé dans The Ground Axiom de Reitz pour prouver que le modèle de terrain est définissable, à la fin du premier paragraphe de la preuve du Lemme 7.1.

Mais je ne sais pas comment le prouver. Toute aide appréciée!

Ajouté après modification: si nous supposons en plus que $\gamma$ est un $\beth$-point fixe (de manière équivalente, $H_\gamma=V_\gamma$. Ceci est vrai dans le cas particulier du lemme 7.1 référencé ci-dessus), alors je pense que l'argument suivant fonctionne.

Par récurrence sur le rang, on montre que si $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, alors il y a un nom $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ tel que $\sigma_G=x$. Supposons donc que cela soit vrai pour tous les ensembles de rangs inférieurs à$x$. D'où chacun$y\in trcl(x)$ a un nom $n(y)$ dont le rang est inférieur à $\gamma$. Maintenant rassemblant tous ces noms, laissez$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. Puisque$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, nous savons $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. Cela signifie aussi que$|z|=\kappa$. Les revendications de cardinalité précédentes sont toutes dans le sens de$M[G]$, et nous corrigeons une surjection $f:\kappa\to z$ dans $M[G]$.

Laisser $\rho$ être un nom pour $x$ et $\tau$ être un nom pour $z$. Par le lemme de la vérité, nous pouvons en réparer$p\in G$ tel que $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$

Nous procédons ensuite à la définition de notre nom de rang inférieur $\sigma$ pour $x$. Pour chaque$\alpha<\kappa$, on laisse

$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ En d'autres termes, $X_\alpha$ recueille ces conditions ci-dessous $p$ qui forcera (l'évaluation) d'un élément dans $z$ être un élément de $x$.

Maintenant pour chacun $X_\alpha$, corrige une antichaine maximale $A_\alpha$qu'il intersecte. Pour chaque$\alpha<\kappa$ et $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, il y en a $\mathbb P$-Nom $v(\alpha,q)$ tel que $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. Maintenant, nous pouvons définir le nom$\sigma$ être $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ ensuite $\sigma$ est un nom dans $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$, et $p\Vdash \sigma=\rho$.

Deuxième modification: il semble que le cas particulier esquissé ci-dessus ait un double (?) Quoi qu'il en soit, je serais toujours intéressé de voir comment argumenter en faveur de la revendication la plus forte citée.

Réponses

2 HanulJeon Dec 06 2020 at 04:05

Je vais travailler dessus $V$ au lieu de $M$. Je pense que la preuve suivante fonctionne$\mathsf{ZFC^-}$ (c'est à dire, $\mathsf{ZFC}$ sans Power Set et avec Collection et le principe du bon ordre) avec l'existence de $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (Surtout, ça tient plus$M=H_\theta$ pour grand régulier $\theta$.)

Lemme. Laisser$x\in V^\mathbb{P}$ être un nom tel que $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ et $\gamma$ être un ordinal supérieur à $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. Si$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, ensuite il y a $\tau\in V^\mathbb{P}$ tel que

  • $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$, et

  • $\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, où $\gamma=\gamma_0+n$ pour une certaine limite $\gamma_0$ et $n\in\omega$.

Permettez-moi d'introduire une notation sur les ordinaux: pour chaque ordinal $\alpha$, $\alpha^*$ et $\alpha^@\in\omega$ être des ordinaux tels que $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ et $\alpha^*$ est un ordinal limite.

J'utiliserai l'induction au rang de $x$. Sans perte de généralité, on peut supposer que

  1. si $(y,q)\in x$ puis $q\le p$, et

  2. (Proximité descendante) si $(y,q)\in x$ et $r\le q$, puis $(y,r)\in x$

en remplaçant $x$ à $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ Puisque $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, nous avons $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.

Puis pour chacun $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. Trouver une antichaine maxinale$A_{y,q}$ au dessous de $q$ qui décide de la valeur ou $\operatorname{rank}y$; c'est-à-dire si$r\in A_{y,q}$ alors il y a un ordinal $\beta_{y,q,r}<\gamma$ tel que $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.

Par l'hypothèse inductive, on peut trouver $\tau_{y,q,r}$ tel que $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ et $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ Maintenant prends $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ Ensuite, nous pouvons prouver $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. Il reste à vérifier le rang de$\tau$. On peut voir ça$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$

  1. Cas 1. Si $\gamma$ est un ordinal limite, alors le côté droit est strictement inférieur à $\gamma$. Par conséquent$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.

  2. Cas 2. Si $\gamma=\gamma_0+n$ pour une certaine limite $\gamma_0$ et $1\le n<\omega$, puis $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ D'où le correspondant $\beta_{y,q,r}$ satisfait $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, Et ainsi $\tau_{y,q,r}$ satisfait $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ L'argument restant est direct, et nous avons $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.