Rapports de polynômes et de dérivés sous une certaine fonction
Laisser $p(x)$ être un polynôme de degré $n>2$, avec des racines $x_1,x_2,\dots,x_n$(y compris les multiplicités). Laisser$m$être un entier positif pair. Définissez le mappage suivant$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$
QUESTION. Pour$\deg p(x)=n>2$ et $p'(x)$ son dérivé, pouvez-vous exprimer $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ en tant que fonction de $m$ et $n$ seule?
Remarque. Invité par les questions de Fedor, comme vitrine, je viens de calculer (non prouvé) que$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$
Réponses
Voici un code SageMath qui fournit une fonction V(m)
informatique$V_m(p)$ en termes de fonctions symétriques élémentaires de $x_1,\dots,x_n$ (c'est-à-dire des coefficients de $p$).
Par exemple, si $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, ensuite $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ etc.
À partir de ces expressions, une preuve de $m=2$suit instantanément. Cependant, pour les plus grands$m$ le rapport $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ ne semble pas être fonction de $n$, que j'ai testé par ordinateur pour $m$ jusqu'à $20$.
Si c'était vrai, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ dépendrait également uniquement de $m$ et $n=\deg p$, et ainsi de suite, jusqu'à ce que nous ayons $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. On a$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Donc si c'était vrai, nous aurions $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. C'est déjà faux pour$n=m=4$: si toutes les racines de $p$ sont des 0 et des 1, nous avons $V_4=V_2$, mais $V_2^2/V_4=V_2$ n'est pas fixe.