Recherche de la forme standard de l'équation de la parabole [fermé]
J'ai un petit problème pour comprendre comment trouver la forme standard d'une équation de parabole à partir des valeurs données. J'ai essayé de googler et de regarder des vidéos sur youtube mais je ne comprends pas comment s'y prendre.
Donné:
- Directrix est $ x = -2$; l'accent est$(2,0)$
- Axe le long de la $x$axe; sommet à l'origine; passant par$(2,5)$
- Vertex à $(-2,-2)$; se concentrer sur$(-2,2)$
Je ne sais pas comment formuler cela, quelques indices seraient appréciés.
Éditer. J'ai lu ceci mais je ne comprends pas.
Réponses
Notez qu'il est important de connaître la définition d'une parabole, ce que la courbe signifie en plus de la géométrie. Une parabole est une courbe (équation) où tout point est équidistant d'un point fixe (foyer) et d'une ligne fixe (directrice). Jetez d'abord un œil à l'image ci-dessous pour vous familiariser avec les termes.

Votre question semble décrire 3 paraboles différentes.
Parabole 1. Directrix$\equiv x=-2$ , concentrer $\equiv (2,0)$
Nous suivons la définition. Laisser$(h,k)$être un point arbitraire sur la parabole. Ensuite, il doit être équidistant de la directrice,$x+2=0$ et se concentrer, $(2,0)$ c'est-à-dire qu'il satisfait \begin{align}|h+2|=\sqrt{(h-2)^2+k^2}&\Rightarrow (h+2)^2=(h-2)^2+k^2\\ &\Rightarrow k^2=(h+2)^2-(h-2)^2=8h\\ &\Rightarrow k^2=8h.\end{align} Puisque, $(h,k)$ était un point arbitraire sur la courbe, on peut dire que l'équation de la parabole n'est rien d'autre que $$y^2=8x.$$
Parabole 2. Axe$\equiv y=0$ ($x$ axe), sommet $\equiv (0,0)$ , $(2,5)$ est un point situé sur la courbe
L '«axe de symétrie» ou simplement, l'axe d'une parabole est la ligne perpendiculaire à la directrice et passant par le foyer de la parabole. Le sommet a été défini comme le point où l'axe rencontre la courbe elle-même.
Toute parabole avec $y=0$ comme axe de symétrie et sommet $(0,0)$ est de la forme $$y^2=4px\mathrm{~where~}(p,0)\mathrm{~is~the~focus}.$$

(Pourquoi est-ce?)
L'accent doit être mis sur un point $x$ axe et donc, de la forme $(p,0)$. Puisque, le sommet est un point sur la parabole, il doit être équidistant de la directrice et du foyer. L'axe est perpendiculaire à la directrice, passant par le foyer et le sommet. Supposons que l'axe rencontre la directrice au point$D$ et laissez $F$être le focus. Ensuite, le sommet,$(0,0)$ est le milieu du segment de ligne, $FD$ et $D$se trouve sur l'axe. On a,$$D\equiv (-p,0).$$ Nous utilisons ceci pour obtenir l'équation de la parabole, comme nous l'avons fait dans la partie 1: \begin{align}|x+p|=\sqrt{(x-p)^2+y^2}&\Rightarrow (x+p)^2=(x-p)^2+y^2\\ &\Rightarrow y^2=(x+p)^2-(x-p)^2=4px\\ &\Rightarrow y^2=4px.\end{align}
Nous savons que $(2,5)$se trouve également sur la parabole. Par conséquent, il satisfait l'équation$y^2=4px$ c'est à dire, $$5^2=4p\cdot2\Rightarrow p=25/8.$$ L'équation de la parabole devient $$y^2=\frac{25}{2}x\Leftrightarrow 2y^2=25x.$$
Parabole 3. Vertex$\equiv (-2,-2)$, concentrer $\equiv (-2,2)$
Le foyer et le sommet d'une parabole se trouvent sur l'axe et, le sommet est le milieu du segment de ligne joignant le foyer et le point où l'axe rencontre la directrice (appelons ce point $D$). La directrice sera une ligne perpendiculaire à l'axe et passant par$D$.
On trouve d'abord $D\equiv(h,k)$. Ensuite,$$\frac{h-2}{2}=-2\Rightarrow h=-2\mathrm{~and~}\frac{k+2}{2}=-2\Rightarrow k=-6.$$ $\therefore D\equiv(-2,-6).$
Ensuite, nous observons que la ligne $x=-2$ Passe à travers $(-2,-2)$ et $(-2,2)$. Depuis, deux points quelconques dans$\mathbb{R}^2$ avoir exactement une ligne droite passant par les deux, nous pouvons conclure que l'équation de l'axe est $$x+2=0.$$
Toute ligne perpendiculaire à une ligne, $ax+by+c=0$ est de la forme $bx-ay+k=0.$
La directrice est de la forme $$y-k=0$$ et ça passe par le point $D\equiv(-2,-6).$ Par conséquent, $k=-6$ et la directrice est $y+6=0$. En utilisant ceux-ci, nous obtenons que l'équation de la parabole est\begin{align}|y+6|=\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}&\Rightarrow (y+6)^2=(x+2)^2+(y-2)^2\\ &\Rightarrow (x+2)^2=(y+6)^2-(y-2)^2=8(2y+4)\\ &\Rightarrow (x+2)^2=16(y+2).\end{align}
Remarque. Une fois que vous vous serez familiarisé avec les paraboles, vous apprendrez quelques paraboles standard et leurs propriétés. Vous pouvez ensuite résoudre la parabole 3 en utilisant le commentaire de @ Jan-Magnus Økland sous votre question.