Recherche de la transformée de Laplace inverse de $\frac{s}{(s+1)^3}$ utilisant une formule d'inversion
J'ai besoin de trouver la transformée de Laplace inverse de $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$en utilisant Bromwich Integral. Le contour de Bromwich ressemblera à quelque chose comme ça .
En fait, vous pouvez voir ce problème sur le lien suivant: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Je voudrais savoir, pourquoi devrions-nous montrer l'intégrale le long$L_u$, $C_R$, $L_D$ est $0$? Je veux dire, j'ai vu de nombreux exemples sur certains livres (comme Mathematical Methods for Physicists, 3e éd.), Il suffit de montrer le résidu à des pôles simples pour résoudre l'inversion de la transformation de laplace
Donc, dans ce cas, cela devrait être:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
Pouvez-vous expliquer pourquoi devrions-nous montrer l'intégrale le long de $L_u$, $C_R$, $L_D$ est $0$ (basé sur le lien donné) si la théorie des résidus est suffisante pour évaluer l'intégrale pour trouver la transformée de laplace inverse de $F(s)$?
J'espère que vous pourrez m'expliquer. Je veux en savoir plus à ce sujet, mais je ne sais toujours pas quand il s'agit de cette question. Merci beaucoup!
Réponses
Le théorème des résidus est une extension du théorème intégral de Cauchy . Les deux théorèmes commencent par des courbes fermées rectifiables dans un domaine connecté simple en$\mathbb{C}$.
La transformée de Laplace inverse de $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, s'exprime par
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
où $c$ est un nombre réel supérieur à toutes les singularités de $F(s)$.
Pour appliquer le théorème des résidus, nous évaluons l'intégrale de $F(s)e^{st}$sur une courbe fermée et rectifiable. Alors, nous commençons notre analyse et écrivons
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
Compte tenu de la question spécifique du PO, nous supposons ici que les seules singularités de $F(s)$sont des singularités polaires. Si$F(s)$ a des singularités de point de branchement, alors nous fermerions le chemin de Bromwich de telle sorte que les points de branchement et les coupes de branchement correspondantes soient exclus de l'intérieur du contour fermé.
Supposons que tous les $N$ nombre de pôles de $F(s)$ sont à l'intérieur du contour fermé $C$ et indiquer l'emplacement du $n$'e pôle par $s_n$, où $n=1,2\cdots N$. Ensuite, nous avons du théorème des résidus,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
De plus, comme $R\to \infty$, la première intégrale sur le côté droit de $(2)$ approches $2\pi i f(t)$ comme exprimé en $(1)$. Donc, si l'intégrale sur$L_u+C_R+L_d$ disparaît comme $R\to \infty$, puis d'assimiler $(2)$ et $(3)$, on trouve que
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
REMARQUE: l'expression dans$(4)$ reposait sur l'hypothèse que
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
Si $(5)$ ne tient pas, alors $(4)$ ne tient pas de même.