Recherche des valeurs propres d'une matrice 3x3 à partir d'un déterminant et d'une trace
Supposons qu'un $3×3$la matrice A n'a que deux valeurs propres distinctes. Supposer que$\operatorname{tr}(A)=−1$ et $\det(A)=45$. Trouvez les valeurs propres de$A$.
J'ai résolu un problème similaire avec une matrice 2x2 en utilisant les propriétés de trace et de déterminant (trace = a + d et det = ad-bc). J'ai essayé de suivre la même approche pour la matrice 3x3 sans succès, car l'expression du polynôme caractéristique est beaucoup plus complexe. Y a-t-il une autre approche que je pourrais adopter?
Réponses
Supposons que vos valeurs propres soient $x$ et $y$. votre matrice$A$ est similaire à une matrice diagonale $B$qui a ses valeurs propres sur sa diagonale.
Maintenant, des matrices similaires ont le même déterminant et la même trace, nous pouvons donc obtenir les équations suivantes:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$Le premier est la somme de la diagonale (on sait qu'il y a 2 valeurs propres uniques donc, l'une d'elles apparaîtra 2 fois sur la diagonale).
Le second est le produit de la diagonale (déterminant de la matrice diagonale).
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$
si $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ et $2x+y=-1$. Et c'est notre réponse :)
Il est vrai pour une matrice $A$ cette $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ Puisque vous avez une valeur propre deux fois (je suppose $\lambda_1$) cela se traduit par: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$
// Edit: résultat corrigé: Vous pouvez résoudre ce problème et accéder à:
$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$