Reconstructions de groupes de la catégorie de $G-\mathbf{Sets}$; Construction d'un homomorphisme de groupe [dupliquer]

Dec 30 2020

J'essaie de trouver une preuve de la déclaration suivante, mais je trouve cela un peu difficile. J'espère que je pourrai obtenir de l'aide de quelqu'un sur ce site. Je pense que c'est ce qu'ils donnent une preuve, sur Ncatlab - Tannakian Duality (à la section$G-\mathbf{Sets}$). Mais je ne peux pas vraiment suivre cette preuve:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Déclaration. Laisser$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ être le foncteur oublieux, où $G-\mathbf{Sets}$ est la catégorie des ensembles équipés d'une action de groupe par le groupe $G$. J'essaye de comprendre la preuve du fait suivant$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

Ce que j'ai fait

J'ai réussi à construire une carte $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Cela a été fait par la règle suivante $\varphi(g)=\eta^g$, où $\eta_S^g:S\to S$ est défini par $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Il est simple de vérifier que cela donne une transformation naturelle de$F$ à $F$ et que c'est aussi un homomorphisme de groupe.

Cependant , l'autre manière est plus problématique pour moi. Je veux trouver une carte$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Autrement dit, étant donné une transformation naturelle $\eta$, Je souhaite l'attribuer à un élément de groupe $g\in G$.

La transformation naturelle $\eta$ est défini par le diagramme commutatif suivant $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ où $\eta_X$ est un morphisme dans $\mathbf{Sets}$ et $f:X \to Y$ est un morphisme dans la catégorie $G-\mathbf{Sets}$. Puisque$F$ est juste le foncteur oublieux, le diagramme ci-dessus se réduit à $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Préoccupations et questions

Dans la définition de la transformation naturelle - je l'ai - étant donné tout $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$est un morphisme. Un naturel$G-\text{Set}$ c'est simplement prendre $X=G$ et de le laisser agir sur lui-même à travers la structure du groupe: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Ainsi le diagramme commutatif devient maintenant $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Remarque 1. Je me souviens qu'un professeur m'a dit que le morphisme$\eta_G$ est totalement compris par ce qu'il fait à l'élément d'identité $e\in G$ (à partir duquel je devrais pouvoir comprendre comment construire l'homomorphisme de groupe), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Je ne comprends pas vraiment ce que cela signifie. Je pense que j'ai mal compris quelque chose au sujet du foncteur oublieux. Quand je pense au foncteur oublieux$F:A\to B$, Je pense que le foncteur oublie tout ce qui est présent dans $A$, mais n'est pas présent dans $B$. Dans notre cas, il oublie la structure des actions de groupe. Et donc, en particulier, je ne peux pas utiliser la propriété d'être un$G$carte -équivariante. Seules les propriétés d'être une carte théorique des ensembles.

Question 1.

Si $\eta_G(e)=s$, et si je voudrais donner un sens à ce que le professeur m'a dit, je pense que je raisonnerais comme suit $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$où I dans la seconde égalité a utilisé la propriété d'être un homomorphisme de groupe. Mais d'un autre côté, si je veux le traiter comme un homomorphisme de groupe, alors je pense que je devais le faire pour commencer. C'est,$\eta_G$doit mapper les identités aux identités (pour être cohérent dans mon raisonnement). Donc je pense que mon argument échoue.

Ma question est: que veut-il dire?

Je ne pense pas que ce que j'ai fait ci-dessus ait un sens. Mais je pense en avoir vu d'autres utiliser les propriétés des morphismes dans la catégorie$A$, après avoir appliqué le foncteur oublieux, d'où mon raisonnement. Encore une fois, je ne suis pas vraiment sûr de ce que je fais. Je peux donc très bien me tromper.

Question 2. Comment cela me dit-il où cartographier une transformation naturelle?

Donné un $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, où est-ce que je le mappe? Dois-je le mapper comme suit$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Ce faisant, est-ce que je sais que j'ai indiqué de manière exhaustive où cartographier chaque transformation naturelle?

Question 3. Je suppose que je dois aussi, d'une manière ou d'une autre, utiliser le diagramme commutatif dans la définition de la transformation naturelle lorsque je construis l'homomorphisme de groupe, ce que je n'ai pas fait? Je suppose que ma suggestion ci-dessus n'est pas la bonne façon de le faire. Avez-vous des idées sur la manière de construire la carte?

Je serais vraiment heureux de pouvoir avoir l'aide de quelqu'un sur ce site pour mieux comprendre cela. Parce que je suis vraiment perdu et confus.

Meilleurs vœux,

Joël

Réponses

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Je vais utiliser la gauche $G$-sets, pas bien.

Questions 1 et 3 .

Tu ne peux pas écrire $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, nous n'assumerons pas $\eta_G:G\to G$ est un homomorphisme de groupe, seulement qu'il s'agit d'un morphisme de $G$-sets. Tu peux utiliser ça pour dire$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ cependant (dont vous inverseriez l'ordre si vous insistez sur les bonnes actions de groupe).

Considérez à nouveau votre diagramme commutatif:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Ici, on peut laisser la carte $G\to Y$ être l'évaluation-à-$y$ carte $g\mapsto gy$ où $y\in Y$ est fixe (notez que la carte d'évaluation est également utile pour établir le théorème du stabilisateur d'orbite - ses fibres sont des cosets de $y$stabilisateur). Ensuite, nous poursuivons le diagramme à partir de$e\in G$ en haut à gauche.

Si nous suivons le chemin en haut à droite, nous obtenons $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. Dans le chemin inférieur gauche,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Par conséquent, nous pouvons assimiler$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Autrement dit, chaque automorphisme$\eta$ appliqué à un $G$-ensemble $Y$ applique simplement un élément de groupe particulier $\eta_G(e)\in G$.