Relation entre $H^1(X, \mathbb{T})$ et faisceaux de lignes complexes

Dec 08 2020

Laisser $X$ être un espace métrique compact et considérer le groupe de cohomologie des faisceaux $H^1(X, \mathbb{T})$. D'une classe en$H^1(X, \mathbb{T})$, Je peux obtenir un principal $\mathbb{T}$-bundle over $X$et à partir de là, un faisceau de lignes complexe associé. Quelle est la relation entre les classes$H^1(X, \mathbb{T})$et faisceaux de lignes complexes? Une classe me donne-t-elle le même faisceau de lignes jusqu'à l'isomorphisme?

Réponses

2 ArunDebray Dec 08 2020 at 22:09

Au moins si $X$ a le type d'homotopie d'un complexe CW, il existe un isomorphisme naturel entre $H^1(X; \mathbb T)$ et le groupe de classes d'isomorphisme des faisceaux de lignes sur $X$ sous produit tenseur.

La façon habituelle de formuler cela est que la première classe de Chern définit un isomorphisme du groupe de faisceaux de lignes à $H^2(X;\mathbb Z)$. Par exemple, et pour une preuve, voir Hatcher, "Ensembles vectoriels et$K$-théorie », Prop. 3.10 (p. 86).

Considérons maintenant la courte séquence exacte des poulies

$$0\to \mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z\to 0,$$

$\mathbb R$ porte la topologie continue (c'est-à-dire qu'il s'agit du faisceau de fonctions continues à valeur réelle $X$). On a$\mathbb R/\mathbb Z\cong\mathbb T$. Il y a une longue séquence exacte induite en cohomologie, mais comme le note Donu Arapura dans une réponse à une autre question MathOverflow ,$H^k(X;\mathbb R)$ disparaît pour $k > 0$. Par conséquent, la longue séquence exacte se simplifie en

$$ 0 \to H^1(X; \mathbb T)\longrightarrow H^2(X; \mathbb Z)\to 0, $$

donc $H^1(X;\mathbb T)$est isomorphe au groupe de faisceaux de lignes. Il faut un peu plus de travail pour voir que l'isomorphisme est le même que la carte que vous avez décrite (faisceau de lignes associé à un principal$\mathbb T$-bundle), mais c'est également vrai.


Tous les espaces métriques compacts n'ont pas le type d'homotopie des complexes CW, comme l'a noté Milnor (fin de la section 1). Je ne sais malheureusement pas quelle est la réponse à votre question pour ces espaces.