Relation entre la dérivée du signal et le spectre de fréquence
Je veux échantillonner un signal dont je sais que la dérivée est limitée par des contraintes physiques. L'échantillonnage est perturbé par un bruit gaussien, j'ai donc besoin de filtrer l'échantillon avec un filtre passe-bas.
Puisque je connais précisément la borne sur la grandeur dérivée, je me demandais s'il existait un moyen de traduire cette borne en une borne de fréquence, afin de déterminer la fréquence de coupure du filtre.
Mon idée intuitive est que les basses fréquences constituent la partie "lisse" de l'échantillon (c'est-à-dire la partie avec une dérivée compatible avec la borne, le signal), tandis que les hautes fréquences sont responsables des changements brusques dans l'échantillon ( c'est-à-dire la partie dont la pente dépasse la borne, le bruit) ; donc, je pense qu'il devrait y avoir une relation entre la dérivée et les composantes de fréquence de l'échantillon. Je cherche quelque chose qui formalise ce concept. Merci!
Réponses
Tout dépend de la façon dont vous souhaitez formaliser votre question. Voici une approche possible. Disons que le signal peut être n'importe quelle fonction sur$\mathbb Z$avec la dérivée bornée par$1$et le bruit a l'écart type$\sigma$et ses valeurs à différents échantillons sont indépendantes. Vous appliquez un filtre linéaire et vous voulez minimiser l'attente de la$L^2$norme de l'erreur sur une longue période de temps dans le pire des cas . Quel doit être ce filtre ?
En prenant la transformée de Fourier de tout, comme d'habitude, on voit que la question se réduit à trouver une fonction$\varphi$sur le cercle avec une unité de mesure qui minimise$\sigma^2\int|\varphi|^2+\sup_{a}\frac 1N\int{|1-\varphi|^2\left|\sum_{k=1}^N a_k z^k\right|^2}$où$a_k$est une suite arbitraire de nombres réels avec$|a_{k+1}-a_k|\le 1$et$a_0=a_{N+1}=0$($N$est la durée du signal). Notez qu'une telle somme est juste$\frac{1}{1-z}\sum_{k=0}^N b_kz^k$où$|b_k|\le 1$et$\sum_k b_k=0$. Cela nous amène au problème de trouver le supremum de$\frac 1N\int\psi^2\left|\sum_{k=1}^N b_k z^k\right|^2$pour un donné$\psi=\frac{1-\varphi}{|1-z|}$.
Ce supremum n'est bien sûr pas supérieur à$\sup\psi^2$, mais ce n'est pas non plus beaucoup moins que cela puisque si nous autorisons des coefficients complexes au lieu de réels, nous pouvons approximer la mesure delta en tout point que nous voulons. Ainsi, si nous ne nous soucions pas trop de facteurs tels que$2$, nous pouvons reformuler notre problème comme suit :
Minimiser$\sigma^2\int(1-M|1-z|)_+^2+M^2$. Si nous passons au cas continu de la ligne (qui fait une approximation décente si vous échantillonnez assez fréquemment, donc dans cette normalisation$\sigma\gg 1$) et supposons que notre transformée de Fourier est donnée par$\widehat f(\omega)=\int f(t)e^{-2\pi i \omega t}$(de sorte que la$L^2$norme est conservée, ce qui correspond à$z=e^{2\pi i \omega}$), on voit qu'il faut minimiser$\sigma^2\int(1-2\pi M|\omega|)_+^2+M^2=\frac{\sigma^2}{3\pi M}+M^2$, ce qui donne le minimum à$M=\sqrt[3]{\frac{\sigma^2}{6\pi}}$. Ainsi, de ce point de vue, le filtre optimal devrait passer$e^{2\pi i\omega t}$pour$|\omega|\le \omega_0=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi^2\sigma^2}}$avec déclin linéaire de l'amplification à partir de la fréquence$0$(amplification$1$) aux fréquences$\pm\omega_0$(amplification$0$).
Parlons maintenant de la mise à l'échelle. Supposons que vous échantillonniez à des intervalles de temps$\tau$, votre dérivée temporelle est bornée par$D$et l'écart type de bruit à chaque échantillon est$\Sigma$. Alors$\sigma=\frac{\Sigma}{D\tau}$et la réponse finale devrait devenir$\Omega_0=\omega_0/\tau=\sqrt[3]{\frac{3 D^2}{4\pi^2 \Sigma^2\tau}}$.
Notons une fois de plus qu'il s'agit de l' optimisation du pire scénario sous la seule restriction concernant la dérivée avec l'objectif de minimiser l'erreur quadratique moyenne . Si vous avez plus de restrictions sur votre signal (par exemple, une limite d'amplitude en plus de la limite dérivée), ou souhaitez optimiser pour un "signal typique" (qui doit ensuite être défini) et ne vous souciez pas beaucoup des valeurs aberrantes, ou préférez un objectif différent, la réponse peut changer. De plus, je crois que ma logique est correcte mais je suis notoirement mauvais en algèbre après minuit, alors vérifiez les chiffres impliqués avant d'appliquer la réponse finale.