Représentation matricielle des groupes d'ordre non-abéliens $p^3$?
Lorsque vous regardez des groupes d'ordre $p^3$ (pour impaire $p$) il y a $2$les non-abéliens. L'un est le groupe de Heisenberg qui peut être considéré comme un produit semi-direct de$C_p \times C_p$ et $C_p$.
Sur la base de quelques calculs avec GAP, je vois que l'autre est un produit semi-direct de $C_{p^2}$ avec $C_p$.
Cet autre groupe peut-il être considéré comme un groupe matriciel familier?
gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"
Réponses
En un mot, «non». Remarquerez que$\mathrm{GL}_n(q)$ pour $q$ une puissance de $p$ ne peut avoir aucun élément d'ordre $p^2$ sauf si $n>p$. Ainsi comme$p$ augmente la taille du groupe de matrice doit croître.
C'est une histoire similaire sur des domaines de caractéristique non $p$. Tout$1$-les représentations dimensionnelles du groupe ont le centre dans le noyau. Les seules représentations fidèles ont au moins un degré$p$.
Donc, ce groupe n'a pas de représentation fidèle du degré inférieur à $p$ sur n'importe quel domaine.
Edit: Il n'y a pas de représentation matricielle sur aucun champ, mais il y en a sur un anneau . Ce groupe est donné par$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$
J'ai découvert cela en regardant les notes de Keith Conrad tout à l'heure.