Résolution d'un système couplé d'ODE linéaires (un second ordre, l'autre premier ordre)

Question

J'ai deux ODE couplés pour $T(x)$ et $t(x)$:

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

$\alpha, \beta$ et $K$ sont des constantes $>0$. En outre, on sait que$t(x=0)=t_i$. De plus, pour$(1)$ nous savons:

$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$

J'ai besoin de déterminer $T(x)$ et $t(x)$. Quelqu'un peut-il suggérer un moyen d'aller de l'avant avec ce problème?

Ce système d'équations couplées peut probablement être résolu en utilisant la méthode matricielle, mais je n'en suis pas conscient. Normalement, je résous une seule équation en utilisant soit la méthode du facteur d'intégration, soit en utilisant une équation caractéristique et en trouvant les racines.

Answer 1

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

CONSEIL:

De $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$

$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$

Les mettre en $(1)$ :

$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$

$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$Il s'agit d'un ODE linéaire à coefficients constants. Je suppose que vous pouvez le prendre d'ici.

Answer 2

Indice:

Remplacer $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ dans $(1)$ :

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$

Puis résolvez pour $\frac{dt(x)}{dx}$.