résoudre une équation à partir de la trigonométrie

Question

J'essaie de résoudre l'équation trigonométrique suivante :$$\frac{\cot\theta+\csc\theta}{\tan\theta+\sec\theta}=\cot(\pi/4+\theta/2)\cot \theta/2$$mais malheureusement, après avoir donné beaucoup d'efforts, je suis incapable de résoudre le problème, je pense qu'il me manque des étapes évidentes, donc le problème se complique mais je n'ai pas pu signaler ma faute, j'ai aussi essayé de le résoudre en partant de RHS mais j'ai aussi échoué là-dedans.

Je serai très reconnaissant si quelqu'un m'aide.

Answer 1

$$\frac{\cot \theta+\csc \theta}{\tan \theta+ \sec \theta}= \frac{1+\cos \theta}{1+\sin \theta}~\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$ $$=\frac{2\cos^2(\theta/2)}{[\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)]^2}\frac{\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \frac{\cos (\theta/2)-\sin(\theta/2)}{\cos (\theta/2)+\sin(\theta/2)}$$ $$=\cot(\theta/2) \frac{1-\tan(\theta/2)}{1+\tan(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \tan(\pi/4-\theta/2)=\cot(\theta/2) \cot(\pi/4+\theta/2).$$Utiliser$\tan(\pi/2-z)=\cot z$.

Answer 2

Laisser$c=\cot\dfrac\theta2$

Utiliser la substitution Weierstrass

$$\tan\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2-1}$$

$$\sin\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2+1}$$

$$\cos\theta=\cdots=\dfrac{c^2-1}{c^2+1}$$

Si$c\ne0,$

LHS$=\dfrac{\dfrac{c^2-1}{2c}+\dfrac{c^2+1}{2c}}{\dfrac{2c}{c^2-1}+\dfrac{c^2+1}{c^2-1}}=\dfrac{c(c^2-1)}{(c+1)^2}=c\cdot\dfrac{c-1}{c+1}$si$c+1\ne0$

Enfin, utilisez Prouver que$\cot(A+B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}$