Rôle de la monotonie dans les séquences à variation bornée.

Question

Rappeler que; Une séquence$\left\{x_{n}\right\}$des nombres réels est dit à variation bornée si la série$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$Converge.

Nous savons que la séquence convergente n'a pas besoin d'être une séquence de variation bornée en prenant$x_n=\frac{1}{n}$même pour$n$et$0$pour impair$n$. Mais qu'en est-il des suites convergentes monotones ? Sont-ils une suite de variation bornée ? Si oui, comment le prouver ?

Answer 1

Indice : Si$\{x_n\}$augmente,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$