Si $a \in \Bbb Z$ est la somme de deux carrés alors $a$ ne peut pas être écrit sous laquelle des formes suivantes?
Laisser $a \in \Bbb Z$ être tel que $a = b^2 + c^2,$ où $b,c \in \Bbb Z \setminus \{0\}.$ ensuite $a$ ne peut pas être écrit comme$:$
$(1)$ $p d^2,$ où $d \in \Bbb Z$ et $p$ est un prime avec $p \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(2)$ $p q d^2,$ où $d \in \Bbb Z$ et $p,q$ sont des nombres premiers distincts avec $p,q \equiv 3\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(1)$ est faux parce que $2^2 + 1^2 = 5 = 5 \cdot 1^2,$ où $d = 1 \in \Bbb Z$ et $5$ est un prime avec $5 \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$Comment prouver ou réfuter l'autre option? Toute aide à cet égard sera appréciée.
Merci pour votre temps.
Réponses
Notez la somme de deux états du théorème des carrés
Un entier supérieur à un peut être écrit comme une somme de deux carrés si et seulement si sa décomposition première ne contient pas de terme $p^k$, où prime $p\equiv 3 \pmod{4}$ et $k$ est impair.
Pour votre $(2)$, avec $p$, car il est distinct de $q$, puis la puissance de $p$ dans $a$ serait $1$ plus $2$ fois la puissance de $p$ dans $d$, c'est-à-dire l'exposant de $p$est impair. Ainsi, depuis$p \equiv 3 \pmod{4}$, alors le théorème cité ci-dessus dit que la valeur ne peut pas être la somme de deux carrés.
Notez que le lien de preuve de l'article de Wikipédia vers les archives Internet indique "Cet article n'est plus disponible". J'ai fait quelques recherches, mais je n'ai trouvé aucun autre lien vers celui-ci. Cependant, il y a fondamentalement le théorème équivalent indiqué dans Somme de deux carrés en bas de page$4$:
Théorème $6$. Un entier positif n est une somme de deux carrés ssi$\operatorname{ord}_p(n)$ est égal pour tous les nombres premiers $p \equiv 3 \pmod{4}$.
Il suit ensuite avec une remarque sur une déclaration équivalente (qui est également équivalente à la déclaration du théorème de Wikipédia que j'ai citée initialement):
Remarque: Un énoncé équivalent du théorème, que nous utiliserons dans la démonstration, est: $n$ est une somme de deux carrés ssi elle prend la valeur $n = ab^2$, où $a$ n'a pas de facteur premier $p \equiv 3 \pmod{4}$.
Cette déclaration est peut-être quelque peu déroutante car elle équivaut fondamentalement à dire $a$est sans carré. Quoi qu'il en soit, l'article lié continue à énoncer et à prouver un lemme qu'il utilise ensuite pour prouver son théorème$6$.
Il existe déjà une réponse acceptée, mais je voulais souligner un argument plus autonome. Une façon de prouver 2) est d'utiliser le lemme élémentaire suivant: si$p=3$ mod $4$ est un premier et $a,b$ sont des entiers tels que $p|a^2+b^2$, puis $p|a$ et $p|b$, Donc $p^2|a^2+b^2$.
Ce lemme implique que pour tout premier $p=3$ mod $4$ et tous les nombres entiers $a,b$, $v_p(a^2+b^2)$ est pair, ce qui montre 2).
Maintenant, comment prouver le lemme?
Supposons que nous ayons $p|a^2+b^2$ et dis, $p$ ne divise pas $a$. Laisser$a'$ être son mod inverse $p$; prendre$b'=ba'$. ensuite$p|b'^2+1$. Comme$\frac{p-1}{2}$ est impair, $(b')^2+1|(b')^{2\times (p-1)/2}+1$, donc $p|(b')^p+b'$. Mais par le petit théorème de Fermat,$p|(b')^p-b'$ donc $p|2b'$. Comme$p \neq 2$, $p|b'$, donc (comme $a'$ est le coprime de $p$) $p|b$. Par conséquent$p|a^2$ donc $p|a$, une contradiction.