Si $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, avec hauteur $AD$ et médiane $AK$. Prouver $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Question

Si $\triangle ABC$ est un triangle et $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, avec hauteur $AD$ et médiane $AK$; supposer que$D$ est entre $B$ et $K$.

1. Prouve-le $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
2. Ensuite, prouvez que $\angle BCA= \frac\pi 8$ si $|AD|=|DK|$.
3. Conclure que $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

J'ai déjà réussi le tirage au sort, mais je ne sais pas vraiment par où commencer.

je le sais $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

Answer 1

Considérez le cercle de $\triangle ABC$. Depuis$\angle A=\frac{\pi}{2}$, il sous-tend le diamètre, donc $K$ est le circumcenter et $$KA=KB=KC\tag{1}$$

1. Depuis $\triangle KCA$ est isocèle, $\angle KCA=\angle KAC$.
   Dans$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, Donc $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, mais $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, Donc $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED.
2. Dans $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, Donc $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
   Depuis$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ et $\angle KAC=\angle KCA$, Donc $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED.
3. Dans $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ et $AK=KC=AD\sqrt{2}$ Donc $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ les autres fonctions de $\frac{\pi}{8}$ se font en utilisant $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$

Answer 2

Laisser $D$ être placé entre $K$ et $B$.

Ainsi, depuis $AK$ est une médiane, on obtient $$AK=CK=KB,$$ qui donne $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

Answer 3

1. Depuis que tu as compris que $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, utilisez la propriété que les angles correspondants de triangles similaires sont égaux. Notez également que$AK=KC$, Par conséquent $\triangle KAC$ est isocèle.

2. Si $AD=DK$, nous avons $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Donc,$\triangle KAC$ étant isocèles, nous avons $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.

3. Nous avons $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. Dans$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$