Si $f$ est une fonction réelle, continue à $a$ et $f(a) < M$, alors il y a un intervalle ouvert $I$ contenant un tel que $f(x) < M$ pour tous $x \in I$.

Question

J'ai un problème concernant le Si f est une fonction réelle, continue en a et f (a) réponse. Si j'ai utilisé$\epsilon =M-f(a)$ qui est aussi $\epsilon >0$ et $ \exists$ $ \delta>0$ donc il y a un intervalle ouvert $I$ contenant tel que $f(x)<M$ pour tous $x \in I$. Je pense que c'est également correct mais pas sûr.

Quelqu'un peut-il vérifier ma réponse?

$\underline{Edit}$

Maintenant, laisse $\epsilon = {M-f(a)}$, clairement $\epsilon >0$, et donc il existe un intervalle ouvert $I=(a-\delta, a+\delta)$, de sorte que pour tout $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ tient.

Il s'ensuit que $f(x)<M$ pour tous $x \in I$

Answer 1

La condition qui $f$ est continue à $a$indique que \ begin {équation} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {equation} En d'autres termes, nous avons la proposition suivante: \ begin {equation} \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ gauche (x \ droite) -f \ gauche (a \ droite) \ rvert <\ epsilon. \ end {équation} Et nous avons la proposition que \ begin {équation} f \ left (a \ right) <M. \ end {equation} En utilisant le fait que$M - f\left(a\right) > 0$, nous avons \ begin {équation} \ existe \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {equation} qui indique en outre que \ begin {équation} \ existe \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {equation} S'il n'y a pas un tel intervalle ouvert$I$ cette $f\left(x\right) < M$ pour tous $x \in I$, alors nous avons la proposition suivante: \ begin {équation} \ forall \ delta> 0, \ existe x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {équation} qui contredit évidemment notre conclusion.