Si la face supérieure est noire, quelle est la probabilité que l'autre face soit blanche?

Question

Question : Un chapeau contient un certain nombre de cartes, avec 30% de blanc des deux côtés, 50% de noir d'un côté et du blanc de l'autre, 20% de noir des deux côtés. Les cartes sont mélangées, puis une seule carte est tirée au hasard et placée sur la table. Si la face supérieure est noire, quelle est la probabilité que l'autre face soit blanche?

Ma tentative : en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, nous obtenons,$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$

Mais la vraie réponse est 5/9. Où me suis-je trompé?

Answer 1

Ce n'est pas aussi simple.

La probabilité que la face supérieure de la carte choisie soit noire n'est pas $0.7$ et voici pourquoi:

Il y a un $0.2$chance que nous choisissions une carte qui est noire des deux côtés. Assez facile ... Cependant, lorsque nous apportons le$0.5$chance d'une carte noire / blanche, nous devons tenir compte de quel côté est tourné vers le haut. Il semblerait naturel de supposer que l'un ou l'autre des camps pourrait être à la hauteur avec une probabilité égale. Donc il y a un$0.5^2$chance qu'une carte noir / blanc soit choisie et que le côté noir soit face visible, ce qui porte la probabilité totale que le noir soit le côté supérieur de la carte choisie à$0.2 + 0.5^2$

Maintenant que ce fait a été mis en lumière, peut-être êtes-vous en mesure de résoudre le problème d'ici!

Answer 2

Une façon d'y penser consiste à analyser plutôt les événements selon lesquels la carte est choisie + son orientation. Donc au lieu d'avoir 3 événements (WW, BW, BB), nous avons 4 événements (WW, BW, WB, BB).

Alors les probabilités sont

WW: 30%

BW: 25%

BM: 25%

BB: 20%

Lorsque nous prenons une carte au hasard et la plaçons dans une orientation aléatoire, nous voyons qu'elle est noire sur le dessus, donc elle peut être soit BW soit BB. Il y a 25% de chances que BW se produise et 20% de chances que BB se produise, donc nous avons$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$.

Answer 3

Je ne pense pas que ce soit de choisir une carte mais de choisir un côté (d'une carte). Et faisons semblant d'avoir$100$cartes. Donc, vous choisissez au hasard l'un des$200$côtés. Puis il y a$50\cdot1+20\cdot2=90$côtés noirs. De celles,$50$venez avec du blanc de l'autre côté. Alors$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ chance pour l'autre côté blanc.