Si les conditions d'un$C^1$-difféomorphisme d'avoir$L^1$ou$L^\infty$jacobien

Question

Laisser$\Delta,D$être deux sous-ensembles ouverts de$\mathbb{R}^d$, et laissez$\varphi:\Delta \rightarrow D$être un$C^1$-difféomorphisme à déterminant jacobien$J_{\varphi}.$

1. Prouve-le$\lambda_d(D)<+\infty$si et seulement si$J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

2. Prouve-le$J_\varphi$est borné à$\Delta$si et seulement si$\exists c>0$tel que pour tout ouvert$\Omega \subset\Delta$,$\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

Pour la partie 1, le résultat découle de$\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

Pour la partie 2, si$J_\varphi$est délimité,$\exists c>0$tel que pour tout ouvert$\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

Comment pouvons-nous prouver l'inverse?

Answer 1

Rappelons que pour toute fonction continue$f$défini sur un voisinage d'un point$x\in\mathbb R^d$,$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

Supposons la fonction continue$|J_\varphi|$était sans limite. Ensuite pour chaque$n\in\mathbb Z_{>0}$, il existe$x_n\in \Delta$tel que$|J_\varphi(x_n)|>2n$. Par conséquent, pour suffisamment petit$r_n>0$,$$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$c'est-à-dire$$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$donc rien de tel$c>0$peut exister.