Si$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Puis calculez$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Ici$i=\sqrt{-1}$

Aug 16 2020

QUESTION : Si$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$,$\text{ }$puis calcule$$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$Ici$i=\sqrt{-1}$.


MA RÉPONSE : Je l'ai fait en utilisant la formule quadratique et le théorème de De Moivre. Permettez-moi d'écrire mon travail avant de proposer mon doute. Voici comment je l'ai fait..

Résoudre l'équation que nous obtenons$$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$Prendre$x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$

Maintenant nous savons que$2187=(273\times8)+3$

$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$

$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$

Maintenant ma première question est que la relation quadratique nous a donné deux valeurs différentes pour$x$. Un avec lequel j'ai travaillé pour arriver à la réponse de$\sqrt {2}i$et l'autre,$\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$que j'avais laissé derrière moi. Maintenant, en travaillant avec cela, je trouve que l'angle s'avère être$\frac{\pi}{10}$et les choses deviennent beaucoup plus compliquées après ça. La réponse officielle à celle-ci est$\sqrt{2}i$(ce qui correspond à ce que j'ai découvert).

Mon doute est pourquoi ne considérons-nous pas l'autre valeur de$x$?

Et existe-t-il une ou plusieurs méthodes alternatives (de préférence plus simples) pour résoudre celle-ci ?

Merci beaucoup pour votre aide et votre soutien.. :)

Réponses

7 AnginaSeng Aug 16 2020 at 21:24

$2187=3^7$. C'est un indice. Pouvoirs de$3$sont significatifs. À présent$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$et$$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$Alors$$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$En répétant cela,$$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$etc. Finalement,$$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$

VIVID Aug 16 2020 at 21:27

En fait, il est facile de vérifier que les deux valeurs de$x$donner le même résultat. Pour l'ensemble du problème, vous avez juste besoin de la formule de De Moivre deux fois (deux lignes de papier sans explication).

Pour$x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, vous avez montré que la réponse est$i\sqrt 2$.

Maintenant, laisse$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. En utilisant la formule de De Moivre et le fait que$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$vous obtenez$$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$Fait!