Si $X = \{ |p(z)|<c\}$, montrent que la limite de $X$ est $\{ |p(z)| = c\}$ et chaque composant de $X$ contient un zéro de $p$.

Question

J'essaie des problèmes dans l'analyse complexe d'un institut dans lequel je n'étudie pas et j'ai été frappé par ce problème particulier.

Laisser $p$ être un polynôme non constant, $c>0$ et $X=\{z:p(z)<c\}$. Prouve-le$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ et aussi chaque composant connecté de $X$ contient un zéro $p$.

Tentative: laissez $C$ être un composant connecté de $X$. ensuite$\partial C$ est un sous-ensemble de $\partial X$ et donc $|p(z)| \leq c$. Mais je ne peux penser à aucun autre argument que celui-ci.

Alors, veuillez faire la lumière sur la façon dont ce problème devrait être abordé.

Answer 1

Propriétés simples de $p$:

i) Depuis $p$ est un polynôme non constant, $p$prend toutes les valeurs complexes. Ainsi les décors$X=\{|p|<c\}$ et $\{|p|=c\}$ ne sont pas vides.

ii) L'ensemble $X$ est ouvert par la continuité de $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ comme $|z|\to\infty.$

De iii) il s'ensuit que $X$est délimité. Autrement$X$ contiendrait une séquence $z_n$ tel que $|z_n|\to \infty,$ Par conséquent $|p(z_n)|\to \infty,$ violer la définition de $X.$

Laisser $z\in \partial X.$ ensuite $z$ est la limite d'une séquence dans $X.$ Cela implique $|p(z)|\le c.$ Pourrait $|p(z)|<c$se produire? Non, parce qu'alors$z\in X$et cela ne pouvait pas être un point limite. Il s'ensuit que$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

Supposons maintenant $|p(z)|=c.$ Laisser $r>0.$ ensuite $p(D(z,r))$ est ouvert par le théorème de mappage ouvert, contient donc des points de module inférieur à $c$ et points de module supérieur à $c.$ Donc $D(z,r)\cap X$ et $D(z,r)\cap X^c$sont tous les deux non vides. Depuis$r$ était arbitraire, $z\in \partial X.$ Ceci avec le dernier paragraphe prouve $\partial X = \{|p|=c\}.$

Rappelez-vous le théorème du module maximum: Supposons $U$est un ensemble connecté ouvert borné. Laisser$f$ être continu sur $\overline U$ et holomorphe sur $U.$ Si le maximum de $|f|$ se produit dans $U,$ puis $f$ est constante.

Alors maintenant laissez $C$ être un composant connecté de $X.$ Nous savons $\partial C \subset \partial X,$ ce qui implique $|p|=c$ sur $\partial C.$ Et bien sûr $|p|<c$ dans $C.$

Présumer $C$ ne contient pas un zéro de $p.$ ensuite $p$ est différent de zéro sur $\overline C,$un ensemble compact. Donc$|p|$ atteint un minimum positif à certains $z_0 \in \overline C.$ Par le MMT, $z_0\in C.$ Mais remarquez $1/p$satisfait les hypothèses du MMT. Ainsi, en utilisant à nouveau le MMT,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

Depuis $|p(z_0|<c,$ nous avons une contradiction, et nous avons terminé.