Solution particulière d'équation différentielle partielle

Question

Besoin d'aide pour résoudre ce problème.

Trouvez la solution particulière de l'équation différentielle $$u_y = (5x + 2)u$$ qui satisfait les données $u(x, x^2) = x^3$.

J'essaie généralement de trouver l'équation caractéristique mais je ne peux que voir $u_y$ ici.

Answer 1

Nous traitons is comme une ODE, en utilisant un facteur intégral approprié: $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ pour une fonction $f(x)$ être trouvé.

Par conséquent $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ Maintenant, $u(x,x^2)=x^3$, Prévoit que $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ et donc $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ Tout à fait $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$