Structure des sommes de colonnes de matrices orthonormales réelles

Dec 01 2020

Supposons que j'ai une matrice orthonormale réelle carrée $A \in O(D)$. J'aimerais comprendre quelle structure existe dans l'ensemble des sommes de colonnes de$A$.

Par exemple, $O(2)$peut être paramétré par un seul scalaire. Pour voir pourquoi, considérez$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Puisque la première colonne doit avoir une norme unitaire,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Étant donné que la deuxième colonne doit être orthogonale à la première colonne et doit également avoir une norme unitaire,$b = -c$ et $d = a$. Par conséquent,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ et les sommes des colonnes sont $a + \sqrt{1 - a^2}$ et $a - \sqrt{1 - a^2}$. Lorsque je trace les sommes des colonnes en fonction de$a$, J'observe ces jolies courbes:

Ma question est la suivante: comment cette structure se généralise-t-elle $O(D)$? Une certaine quantité est-elle conservée? Si je classe les sommes des colonnes par ordre décroissant, y a-t-il une relation entre elles?

Peut-être que ce que j'aimerais, c'est un théorème qui déclare "si les sommes des colonnes précédentes étaient $A, B, C,...$ alors la somme de la colonne suivante est égale à $Z$ / borné entre $[-X, Y]$"

Réponses

1 JackM Dec 01 2020 at 18:17

Le fait de savoir que l'ensemble de tous les vecteurs de somme de colonnes possibles est une sphère répond essentiellement à toutes les questions que vous pourriez vouloir poser sur ces vecteurs. Plus précisément, nous avons:

Laisser $S(n)$ être l'ensemble des vecteurs de somme de colonnes de matrices orthogonales dans $O(n)$. ensuite$S(n)$ est égal à la sphère de rayon $\sqrt n$ centré à l'origine.

D'après les commentaires:

puis-je dire autre chose? Puisque les vecteurs sont orthonormés, cela suggère que la fixation d'un (ou plusieurs) limite sévèrement les points restants sur la sphère qui peuvent être choisis.

Apporter l'hypothèse que les vecteurs sont orthonormés ne peut pas vous donner de résultats plus forts, puisque cette hypothèse est intégrée dans le théorème que l'ensemble de tous les vecteurs de somme de colonnes est une sphère. Alors oui, la fixation d'une ou plusieurs coordonnées restreint les autres - mais elle les restreint uniquement et précisément en ce qu'elles doivent être choisies de manière à ce que le point résultant aboutisse sur une sphère. Il ne sert à rien d'essayer d'obtenir d'autres restrictions, car le résultat est que$S(n)$est égal à une sphère - pas un sous-ensemble de celle-ci, ni un sur-ensemble de celle-ci, mais égale. Par conséquent, la restriction est aussi stricte que possible.

Par exemple:

  1. Vous pouvez paramétrer $S(n)$, en utilisant n'importe quel paramétrage standard d'une sphère .

  2. Oui, si vous corrigez le premier $k$coordonnées, cela restreint les coordonnées restantes puisque le vecteur entier doit se retrouver sur une sphère. Plus précisément, les coordonnées restantes$a_{k+1}, ..., a_n$ doit être choisi pour que $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ En d'autres termes, si $r^2=a_1^2+...+a_k^2$, les coordonnées restantes doivent être choisies dans une sphère de rayon $\sqrt{n-r^2}$ dans $(n-k)$-espace dimensionnel.