$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ et $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$
Examinons la série $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ et $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$
Ma tentative:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ et $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
Comme les deux termes sont positifs, au moins une des séries doit être divergente.
Comment prouver que les deux séries sont divergentes?
Comme indiqué en indice, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$
Réponses
INDICE:
Les deux séries divergent. Pour le montrer, utilisez les identités
$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$
avec le fait que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ converge pour $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, comme le garantit le test de Dirichlet .