Sur le spectre d'un opérateur linéaire borné

Question

D'après [wikipedia] [1]

Laisser $T$ être un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach $X$ sur le champ scalaire complexe $\mathbb{C}$ et $I$ être l'opérateur d'identité sur $X$. Le spectre de$T$ est l'ensemble de tous $\lambda \in \mathbb{C}$ pour lequel l'opérateur $T-\lambda I$ n'a pas d'inverse qui est un opérateur linéaire borné

Cette définition me semble imprécise à cause de ce qui suit. Car$X$ est Banach, si $T$a un inverse, [cet inverse doit être borné] [2]. Mais (à mon avis) la définition sur wikipedia pourrait être trompeuse car on pourrait penser qu'il pourrait arriver que$T-\lambda I$ est inversible mais non borné, auquel cas $\lambda$ semble également être un élément du spectre des $T$selon la définition ci-dessus. Je pense qu'une meilleure définition du spectre, dans ce cas, serait l'ensemble de tous les nombres complexes tels que$T-\lambda I$ n'est pas inversible.

Question: Si$X$est supposée normée au lieu de Banach, quelle est la meilleure définition du spectre? Exige-t-on$T-\lambda I$ne pas être inversible ou ne pas être inversible et borné?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Basic% 20properties, subset% 20of% 20the% 20complex% 20plane. & Text = would% 20be% 20defined% 20everywhere% 20on% 20the% 20complex% 20plane% 20and% 20bounded. & Text = Le% 20boundedness% 20of% 20the% 20spectre, borné% 20by% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C. [2]: L'inverse de l'opérateur borné?

Answer 1

Si $T-\lambda I$ est injectif, alors $T-\lambda I$ aura un inverse sur $\mathcal{R}(T-\lambda I)$, mais cela ne garantit pas que $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$est délimité. Par exemple, considérez$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ Défini par $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$est délimité. Même si l'inverse$T^{-1}g = g'$ est fermé, il est défini uniquement sur les fonctions $g \in L^2[0,1]$ qui sont

$\;\;\;$(i) absolument continue,
$\;\;\;$(ii) disparaître à $0$, et
$\;\;\;$(iii) avoir un dérivé carré intégrable sur $[0,1]$.

en outre $T^{-1}$n'est pas limité à son domaine; il n'est donc pas possible d'étendre$T^{-1}$de telle manière qu'il sera continu. Si la plage de$T$ étaient tous de $X$, de sorte que l'inverse de $T$ ont été définis partout sur $L^2[0,1]$, alors votre argument s'appliquerait parce que $T$serait défini sur un espace de Banach et aurait un graphe fermé. Mais cela ne doit pas arriver, même si$T^{-1}$ existe, car cela ne se produit pas dans ce cas.