Terminologie : représentations lisses de groupes localement profinis.

Question

Laisser$G$être un groupe localement profini.

Une représentation lisse est une représentation complexe ($V,\rho$) de$G$de sorte que le stabilisateur de tout$v \in V$est ouvert.

On peut montrer que (comme$\text{GL}_n(\mathbb{C})$est un groupe de mensonges et a NSS), une représentation (de dimension finie) de$G$est continue si et seulement si$\ker(\rho)$est ouvert.

Par conséquent, en dimension finie, les représentations continues sont lisses.

De plus, comme$$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$et l'intersection de droite peut être considérée comme finie pour la dimension finie$V$, lisse implique aussi continu. Ils sont donc équivalents pour les dimensions finies.

Et les dimensions infinies ? L'un implique-t-il l'autre ?

Quelle est la raison de cette terminologie ? Je demande seulement parce que je suis conditionné à penser que ces implications doivent être lisses impliquent continues, et pas nécessairement l'inverse !

Answer 1

Je suppose que continu signifie ici la carte$P:G \times V \rightarrow V$est continue, sachant V la topologie discrète. Alors lisse implique certainement continu, littéralement par définition (vérifier que l'image inverse d'un seul vecteur sous P est ouverte)

Mais je ne pense pas que l'autre côté ait raison car cela devrait dépendre du groupe.

Answer 2

Déjà$G=\mathbb Z_p$agissant sur$L^2(\mathbb Z_p)$par translation est continue, mais il est facile de faire des fonctions non localement constantes dans$L^2(\mathbb Z_p)$.

De plus, il est trompeur de dire que les espaces repn lisses "n'ont pas de topologie" ou "ont la topologie discrète". Au contraire, ils ont la topologie colimite d'être exprimés comme l'union ascendante de leurs sous-espaces de dimension finie. Oui, toute carte linéaire d'un tel espace est continue... c'est pourquoi des remarques incorrectes sur la topologie ne conduisent pas directement au désastre. :)

Ainsi, dans le meilleur des cas, pour chaque compact ouvert$K$dans$G$, le sous-espace$V^K$de$K$-les vecteurs fixes sont de dimension finie, et$V=\bigcup V^K$. Ce n'est pas le cas pour$V=L^2(\mathbb Z_p)$, mais est correct pour$V$la$K$-vecteurs finis. Des choses comme ça.