Topologie - Chaque carte de quotient injectif est un homéomorphisme

Nov 21 2020

Je vais montrer que chaque carte de quotient injectif est un homéomorphisme:

Laisser $(X,\tau_{X})$, $(Y,\tau_{Y})$ être des espaces topologiques.

Définitions:

$q:X \rightarrow Y$ est une carte de quotient ssi $q$ est surjectif ($q[X] = Y$) et $$ \forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X $$$[]$ est utilisé pour désigner l'image d'une fonction. $f:X \rightarrow Y$ est un homéomorphisme ssi $f$ est bijectif et $$ \forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff f[U] \in \tau_Y $$

Lemme: $$\forall x \forall y: P(x,y) \implies Q(x)$$ est équivalent à $$\forall x: Q(x) \land \forall x \exists y: P(x,y)$$

Preuve du lemme: preuve

Preuve:

Il suffit de montrer que si $q$ est injectif, $\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X$ est équivalent à $\forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff q[U] \in \tau_Y$.

Notes: Injectivité de $q$ assure $q^{-1}[q[U]] = U$ pour tous $U \subseteq X$. Pour une surjection$q$, $\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V$ est une nécessité logique.

$$ \begin{align} &\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X& \\ &\iff (\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X) \land (\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V)& \text{Tautology}\\ &\iff \forall V\subseteq Y : \forall U \subseteq X: q[U] = V \implies V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X & \text{Lemma}\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[q[U]] \in \tau_X &p \rightarrow q \iff p\rightarrow p \land q\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X & \text{Injectivity}\\ &\iff (\forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X) \land (\forall U \subseteq X:\exists V \subseteq Y: q[U] = V) &\text{Lemma}\\ &\iff \forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X& \text{Tautology}\\ \end{align} $$

Est-ce correct?

Réponses

2 PaulFrost Nov 22 2020 at 06:35

Votre preuve est correcte, mais elle est difficile à comprendre et inutilement compliquée.

Votre lemme est une déclaration purement logique, et il est inhabituel de commencer une preuve concrète avec une telle déclaration. En fait, tous les arguments sont basés sur la logique, et nous devons considérer ce fondement comme acquis. Sinon, chaque preuve devrait commencer par une explication de tous les problèmes logiques, théoriques, etc.

L'essence de vos arguments est la suivante:

  1. Toute carte de quotient $q$ est une surjection continue.

  2. Toute carte de quotient injectif $q$est une bijection continue. Il suffit donc de montrer que si$U \in \tau_X$, puis $p(U) \in \tau_Y$. Mais c'est évident puisque$p^{-1}(p(U)) = U$ pour les cartes injectives.