Toutes les matrices hermitiennes similaires sont-elles unitairement similaires?

Aug 18 2020

Je n'étais pas $100\%$ sûr de l'exactitude de ce que j'ai obtenu, puis-je demander une vérification?


Laisser $A,B\in M_n(\Bbb C)$être deux matrices hermitiennes similaires. ensuite$A=P^{-1}BP$.

Selon le théorème spectral, toute matrice hermitienne est diagonalisable, donc $A=U_1^{-1}DU_1$ et $B=U_2^{-1}DU_2$, où $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ sont unitaires et $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ est la diagonale st $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.

Depuis $A$ et $B$ sont unitairement similaires à $D$, Je voulais écrire $A$ sous la forme suivante: $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ ensuite $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. Depuis les deux$U_1$ et $U_2^{-1}$ sont unitaires, $P$, en tant que produit de deux matrices unitaires, est également unitaire.

Question selon ce résultat:

Toutes les matrices hermitiennes similaires sont-elles unitairement similaires ?

Si cela est valide, peut-il être utilisé dans la preuve que la représentation matricielle d'un opérateur hermitien dans une base orthonormée est une matrice hermitienne? L'énoncé est évident lorsque, étant donné une matrice hermitienne arbitraire, on est invité à la diagonaliser. j'ai pensé$P$ pourrait être la matrice de transition d'une base orthonormée à une autre.


Merci d'avance!

Réponses

1 Invisible Aug 19 2020 at 19:17

Comme l'a vérifié @ StephenMontgomery-Smith, toutes les matrices hermitiennes similaires sont en effet unitairement similaires.

Howerver, $P$ ne doit pas nécessairement être unitaire si, par exemple, $A=B=0$. Puis chaque inversible$P$ suffirait.


Vous pouvez voir cette question parallèle que j'ai postée sur Quora, à laquelle Aaron Dunbrack a répondu hier .